一、填空題（每小題2分，共20分）
1、設嚴格單調函式二階連續可導，其反函式為，且，，則。
2、設單位向量的夾角為（），為正常數，則
。3、設，則。
4、。5、已知有整數使極限存在且不為零，則。
6、設且，若收斂，則的範圍為。
7、圓柱夾在與平面之間的面積為。（）
8、設當時一階連續可導，且，又二元函式滿足，則。9、的通解為。
10、設函式，則。
二、（10分）設，且，求。
三、（10分）設在上有定義，且對任意實數，都有等式
成立，又，求。
四、求拋物面上任一點處的切平面與拋物面所圍成立體的體積。
五、（10分）證明：，其中為拋物面夾在平面與（）之間的部分。
六、（10分）分針和時針在零點重合後，兩針針尖的距離逐漸有小變大，再有大變小，經過小時後再次重合。設時針與分針長分別為和，問兩針尖相離的速度何時達到最大。
七、（10分）設二元函式有一階連續偏導數，且，證明在單位圓周上至少存在兩個不同的點滿足方程。
八、（10分）設整數，求證：。
九、（10分）設函式在上連續，且，證明：對任意的都有成立。
一、填空題1、
解答：；
。2、解答：當時，，
所以。3、
解答：，則
。4、；
解答：，所以，
又由得，所以。5、；
解答：因為，所以，由正項級數比較審斂法知，若收斂，則，即。6、；
解答：由曲線積分的幾何意義及對稱性知，。7、
解答：令，則，
則，，因為，所以，故。8、；
解答：由得，
於是，。9、
解答：因為，，所以原式。10、。
二、解答：令，則，即
。所以。又，故
。三、解答：由得。
，解得，又，所以。
四、解答：拋物面在點處的切平面為
，由得投影區域為
，故所圍成的立體的體積為
。五、解答：
。令，得唯一駐點，則的最大值為，而
，所以。
六、解答：由題意知時針的角速度為/小時，分針的角速度為/小時，所以在時刻，時針、分針分別轉動角度為和，此時，時針和分針針尖的位置分別為及，故之間的距離為
，，兩針尖分離的速度為，
，。令解得駐點，即在小時後兩針尖分離的速度最大，即從重合開始經過10分秒兩針尖分離的速度最大。
七、解答：令，則在區間上可導，且，由羅爾定理，存在兩個不同點，使。
而，結論成立。
八、證明：
先證明，等價於。
令，則，
所以在內單調增加，而，所以當時，，從而
。再證，等價於。令，，
，則在內單調增加，而，所以當時，，即在內單調增加，又，所以當時，，從而
。九、證明：不妨設，若，則
；若，則
。第十八屆北京市大學生數學競賽試題
一、 填空題（每小題2分，共24分）
1、設當時，是的等價無窮小，則。
2、設，則。
4、。5、
6、設函式在點的某鄰域內可微，且，其中，則曲面在點處的切平面方程為。
8、設為封閉曲線的正向一周，則。
9、設向量場，則其散度在點處沿方向的方向導數為。
10、設在上，則從小到大的次序為。
11、設函式由方程所確定，則在曲線上對應於的點處的切線方程為。
12、設為連續函式，且，則。
二、（7分）設二元函式，其中在點的乙個鄰域內連續，證明函式在點處可微的充分必要條件是。
三、（10分）設在區間上三階可微，證明：存在實數，使
。四、（7分）求積分。
五、（7分）設，求的範圍。
六、（9分）設函式在閉區域上有一階連續偏導數，又，，且在的邊界上有，求。
七、（8分）證明：當時。
八、（9分）計算，其中，取外側。
九、（8分）設正項級數收斂，且其和為，求：
（1）； （2）。
十、（7分）證明是無理數。
十一、（7分）在區間內，試比較函式與的大小，並證明你的結論。
第十八屆北京市大學生數學競賽試題解答
一、填空題
1、； 2、；
4、原式； 5、原式； 6、切平面方程為；
8、原式； 9、原式；
10、； 11、； 12、。
二、證明：（必要性）設在點處可微，則都存在，
由於且，
，故有。
（充分性）若，則有，
因為，又，
所以，由定義知在處可微。
三、證明：由，，得
。由導數介值定理知，存在，使，於是
。四、解答：由，得。
五、解答：因為，所以在處連續。
，駐點為。
當時，；當時，，所以為極小點。
又當時，，所以是極大點，極小值為，極大值為。
六、解答：因為，所以
，其中，方向取正向。
七、證明：
設，則。
令，則。
八、解答：
設，取左側，，則原式，且，
。方法二：
設，取左側，，則原式，且，
，故原式，
，其中，
，其中，
所以原式。
九、解答：
（1）因為
，所以。
（2），
記，則，
所以。十、證明：設為有理數，則，其中是互素的正整數。
根據的展開式有，
由知，是整數（兩個整數之差仍是整數）。
然而，故不可能是整數，矛盾，所以是無理數。
十一、解答：
設，則，
當時，，由余弦函式在內的凸性知，
。設，則，
於是，所以，即
，於是當時，，又，所以；當時，。
由於，故
北京市大學生人文知識競賽章程
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