第十九屆北京市大學生數學競賽本科丙組試題及解答
一、填空題（每小題3分，共30分）
1． = 1/6 .
2．設連續，在處可導，且滿足
則曲線在處的切線方程為 y=2x－2 .
3．設是由所確定的函式,則－1 .
4. 設, 則－2 .
5. .
6．設函式可導且，二元函式滿足，則 .
7. .
8. 數項級數的和－1+cos1+ln2.
9. .
10. .
二、(10分) 計算, 其中 [x]為不超過x的最大整數.
解 =
三、(10分) 求極限.
四、(10分) 設f (x)在 [0,1] 上連續, f (0)= f (1) , 求證: 對於任意正整數ｎ，必存在，使．
證明令於是有所以
故存在使
．五、(10分) 設有二階連續偏導數, , 且, 證明在取得極值, 判斷此極值是極大值還是極小值, 並求出此極值.
解 ,
由全微分的定義知
a=, 且, 故是極大值.
六、(10分) (容器側壁的形狀問題)
一容器的側面是由曲線繞鉛直中心軸y軸旋轉而成, 其中在連續, 容器底面(過x軸的水平截面)為半徑r=1的圓(即f (0)=1). 當勻速地向容器內注水時, 若液面高度h的公升高速度與(2v+π)成反比(這裡v表示當時容器內水的體積) ,求容器側壁的軸截線.
解設在時刻t, 容器內水的液面高度為h, 而水的體積為v, 則有
.於是有.
根據題意, , 代如上式, 可得
化簡得.
由 f (0)=1 可得, 上式兩端同時對h求導得
即 .
求出滿足f (0)=1 的解為, 即容器側壁的軸截線為.
七、(10分) 設在上二階可導，且而當時,證明在內，方程有且僅有乙個實根．
證明由於當時，，因此單調減，從而，於是又有嚴格單調減．再由知，最多只有乙個實根．
下面證明必有一實根．當時，，即
，上式右端當時，趨於，因此當充分大時，，於是存在，使得，由介值定理存在，使得．
綜上所述，知在有而且只有乙個實根．
八、(10分)
關於舉辦第十九屆大學生辯論賽
共青團南昌大學委員會 南昌大學學生委員會 昌大團字 2012 9號 各院 系 團委 學生會 研究生會 為繁榮校園文化，倡導辯論之風，引導大學生堅定信念 觀察社會 了解國情 關注社會熱點 勤於思考 善於表達，提高大學生的思辨能力，充分展示我校學子的敏捷思維和青春風貌，經研究，決定舉辦第十九屆大學生辯論...
第十七屆北京市大學生數學競賽試題
一 填空題 每小題2分，共20分 1 設嚴格單調函式二階連續可導，其反函式為，且，則。2 設單位向量的夾角為 為正常數，則 3 設，則。4 5 已知有整數使極限存在且不為零，則。6 設且，若收斂，則的範圍為。7 圓柱夾在與平面之間的面積為。8 設當時一階連續可導，且，又二元函式滿足，則。9 的通解為...
北京市高職高專大學生數學競賽試卷2019
考試時間 2011年 10 月 29日9 00 11 30一 填空題 本題共30分，每小題3分 1.微積分的發現者是和 2.若則 3.4.設，則 5.則 6.7.函式在區間上的最大值為 8.設函式.9.若函式的乙個原函式為函式，則.10.二 解答題 本題共36分，每小題6分 1.計算.2.計算.3....