一．(本題30分，每題3分)
1.極限
解：記，則，
。2. 設在處可導，且，，則極限
解： 。
3.設，則
解：將對微分得到，因此
，，，簡單計算可得。
4. 設有乙個原函式是，那麼
解：首先由分部積分公式有
，又有乙個原函式，所以，
。5. 曲線繞其漸近線旋轉所得旋轉體體積
解：漸近線為軸，。
6. 設，則
解：，，因此，，
。7. 設，則積分
解：積分區域關於軸、軸及原點對稱，而在上是關於且關於為偶函式，在上是關於的奇函式，設為積分區域第一象限部分，則
。8. 已知級數收斂，則實數的取值範圍是
解：當時，，因此。
9. 設為某個二階常係數齊次線性微分方程的通解，則該方程為
解：不妨設二階常係數齊次線性微分方程為，由通解形式可知其特徵方程有一對共軛復根，其中，又由題意知，從而解得，所以微分方程為。
10.設,變數且那麼
解：在所給變換下，原方程化為。
二. (本題10分)計算極限。
解：原式（3分）（4分）（2分）。（1分）
三．(本題10分)設可微，且滿足條件，求。
解：解題設中的關於的微分方程，則
或（3分）。
由得（1分）。
再解題設中關於的微分方程，則（3分）。根據得（1分）。故（2分）。
四．(本題10分)計算，其中d為正方形區域。
解:用直線將d劃分為左上部分d1和右下部分d2，在d1上，，在d2上，，且d1 和d2關於對稱（1分），所以
（2分）
（1分）（1分）（1分）
（1分）
又，於是（1分），
（1分），所以（1分）。
五．(本題10分)設，（1）求；（2）試證對於任意的常數，級數收斂。
（1）解：（2分）。令，則上式= (1分)，因此（1分），於是（1分）。
（2）證明：令，則（2分），所以對於任意的常數，（2分），而級數收斂，從而級數收斂（1分）。
六．(本題10分)某湖泊的蓄水量為,每年流入湖泊中的含汙染物a的汙水量為，流入湖泊中的不含汙染物a的水量為，流出湖泊的水量為。已知2023年底湖泊中汙染物a的含量為，超過國家規定的指標，為了治理汙染，從2023年初，限定流入湖泊中的含汙染物a的汙水濃度不超過，問至少需要經過多少年，湖泊中汙染物a的含量降至以內。假設湖水中汙染物a的分布是均勻的。
解：設年湖泊中汙染物a的含量為，則濃度為，汙染物增量為，又設2023年初（1分），由於
汙染物a的增量=汙染物a的流入量-汙染物a的流出量，（1分）
在時間間隔內汙染物a的流入量為（1分），汙染物a的流出量為（1分），於是，即（1分），此微分方程可以看作可分離變數的微分方程，也可以看作一階線性微分方程，求解得：
（2分），
由得，因此滿足初始條件的特解為（1分），又由，解得年，即至少需要經過6.6年，湖泊中汙染物a的含量降至以內（2分）。
七. (本題10分)設是二次可微的函式，滿足，且對任意的有，證明：對每個，都有。
證明：首先，令，則（2分），因此（2分），所以，或者（2分）。
進一步有，即（2分），所以（1分），即（1分）。
如果由方程求解得出，給2分。
八. (本題10分)利用定積分證明恒等式：。
證明：用兩種不同的方法計算定積分（4分）。
第一種，（1分）
（1分）（1分）。
第二種，（1分）（1分）
（1分）。
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