高二數學上學期知識點回扣

2021-03-04 09:59:59 字數 4373 閱讀 6462

第三部分:數列

1. 證明數列是等差(比)數列

(1)等差數列:定義法:對於數列,若(常數),則數列是等差數列。

等差中項法:對於數列,若,則數列是等差數列。注:

後兩種方法僅適用於選擇、填空:③(形如一次函式)④(常數項為0的二次)

(2)等比數列:①定義法:對於數列,若,則數列是等比數列。②等比中項法:對於數列,若,則數列是等比數列

2.求數列通項公式方法 (1)公式法:等差數列中an=a1+(n-1)d 等比數列中an= a1 qn-1; (2)( 注意 :驗證a1是否包含在an 的公式中)

(3)遞推式為=+f(n) (採用累加法);=×f(n) (採用累積法);例已知數列滿足, = ,則答:)(4)構造法;形如,(p,q為常數且pq)的遞推數列,可構造等比數列,例 ①已知,求(答:); (5)涉及遞推公式的問題,常借助於「迭代法」解決:

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)+a1 ; an=

(6)倒數法形如的遞推數列如①已知,求(答:);3.求數列前n項和.

常見方法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關鍵找通項結構.

(1)公式法:等差數列中 sn== ;等比數列中當q=1,sn=na1 當q≠1,sn==(注:討論q是否等於1)。

(2)分組法求數列的和:如an=2n+3n ;

(3)錯位相減法:, ,如an=(2n-1)2n;(注)

(4)倒序相加法求和:如①在等差數列中,前4項的和為40,最後4項的和為80,所有各項的和為720,則這個數列的項數n=______;(答:48);②已知,則=___(答:)

(5)裂項法求和:,如求和答:)

(6)在求含絕對值的數列前n項和問題時,注意分類討論及轉化思想的應用,總結時寫成分段數列。

4.的最值問題方法(1)在等差數列中,有關sn 的最值問題——從項的角度求解:

①當,d<0時,滿足的項數m使得取最大值.

②當,d>0時,滿足的項數m使得取最小值。

(2)轉化成二次函式配方求最值(注:n是正整數,若n不是正整數,可觀察其兩側的兩個整數是否滿足要求)。如①等差數列中,,,問此數列前多少項和最大?

並求此最大值。(答:前13項和最大,最大值為169);②若是等差數列,首項,,則使前n項和成立的最大正整數n是答:

4006)

5.求數列的最大、最小項的方法(函式思想):

①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) ,如an= ③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性如an=

6.常用性質:(1)等差數列的性質:對於等差數列.()

.若,則。.若數列是等差數列,是其前n項的和,,那麼,,成等差數列。.設數列是等差數列,是奇數項的和,是偶數項項的和,是前n項的和,則有如下性質:()奇數項()偶數項

.若等差數列的前項的和為,等差數列的前項的和為,則。(應用於選擇、填空,要會推導,正用、逆用)

(2)等比數列性質:在等比數列中①.();②.若m+n=p+q,則aman=apaq;如(1)在等比數列中,,公比q是整數,則=___(答:

512);(2)各項均為正數的等比數列中,若,則 (答:10)。③.若數列是等比數列且q≠-1,是其前n項的和,,那麼,,成等比數列。

如:公比為-1時,、-、-、…不成等比數列

7.常見結論:(1)三個數成等差的設法:a-d,a,a+d;四個數成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

(2)三個數成等比的設法:a/q,a,aq; (3)若、成等差,則成等差;(4)若、成等比,則(k≠0)、、、成等比;(5)成等差,則 (c>0)成等比.

(6)(bn>0)成等比,則(c>0且c1)成等差。

第四部分不等式

1.兩個實數a與b之間的大小關係—作差法或作商法2.不等式的證明方法(1)比較法(2)綜合法.(3)分析法注:一般地常用分析法探索證題途徑,然後用綜合法

3. 解不等式(1)一元一次不等式的解法① ②

(2)一元二次不等式的解法(三個二次關係)

判別式二次函式

的圖象一元二次方程相異實根相等實根沒有實根

的根解集r

解集注: 解集為r,( 對恆成立)

則若二次函式係數含引數且未指明不為零時,需驗證

若解集為r呢?如:關於x的不等式對恆成立,則的取值範圍 。略解(ⅰ)(ⅱ)

(3)絕對值不等式如果a>0,那麼

(4)分式不等式若係數含引數時,須判斷或討論係數,化負為正,寫出解集。

主要應用:1.解一元二次不等式;2.

解分式不等式;3.解含參的一元二次不等式(先因式分解,分類討論,比較兩根的大小);4恆成立問題(注:①討論二次項係數是否為0;②開口方向與判別式);5.

已知,,求的取值範圍;(①換元法;②線性規劃法)。

4.簡單的線性規劃問題應用:(1)會畫可行域,求目標函式的最值及取得最值時的最優解(注:可行域邊界的虛實);(2)求可行域內整數點的個數;(3)求可行域的面積;(4)根據目標函式取得最值時最優解(個數)求引數的值(引數可**性約束條件中,也可在目標函式中);(5)實際問題中注意調整最優解(反代法)。

5.常用的基本不等式和重要的不等式(1)(2),則;注:

(3)(4);

6.均值不等式的應用——求最值(可能出現在實際應用題)設,則

(1)若積

(2)若和即:積定和最小,和定積最大。

注:運用均值定理求最值的三要素:「一正、二定、三相等」技巧:

①湊項,例(x>2)②湊係數 ,例當時,求的最大值;(答:8)③添負號,例;④拆項,例求的最小值(答:9 )⑤構造法,例求的最大值(答:

1)。⑥「1」的靈活代換,若且,則的最小值是________(答:16)(3)若用均值不等式求最值,等號取不到時,需用定義法先證明單調性,後根據單調性求最值,例求的最小值。

第五部分簡易邏輯

1、 邏輯聯結詞,命題的形式:p或q(記作「p∨q」 );p且q(記作「p∧q」 );非p(記作「┑q」 ) 。

2、「或」、 「且」、 「非」的真值判斷(1)「非p」形式復合命題的真假與f的真假相反;(2)「p且q」形式復合命題當p與q同為真時為真,其他情況時為假;(3)「p或q」形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真.4常見結論的否定形式

5、四種命題:原命題:若p則q; 逆命題:若q則p;否命題:若┑p則┑q;逆否命題:若┑q則┑p。

6、四種命題之間的相互關係:乙個命題的真假與其他三個命題的真假有如下關係:(原命題逆否命題)

①、原命題為真,它的逆命題不一定為真。②、原命題為真,它的否命題不一定為真。③、原命題為真,它的逆否命題一定為真。

7、如果已知pq那麼我們說,p是q的充分條件,q是p的必要條件。

若pq且qp,則稱p是q的充要條件,記為pq.

8.命題的否定只否定結論;否命題是條件和結論都否定。

9、反證法:從命題結論的反面出發(假設),引出(與已知、公理、定理…)矛盾,從而否定假設證明原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法。

第六部分圓錐曲線定義、標準方程及性質

(一)橢圓 1.定義:若f1,f2是兩定點,p為動點,且(為常數)則p點的軌跡是橢圓。

注:(1)若2a小於||,則這樣的點不存在;(2)若2a等於||,則動點的軌跡是線段.(3)中經常利用餘弦定理、三角形面積公式將有關線段、、2c,有關角結合起來,建立+、等關係求出、的值.

注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上.2.橢圓的標準方程:

(>>0),(>>0)(注:)。(1).

橢圓的標準方程判別方法:判別焦點在哪個軸只要看分母的大小:如果項的分母大於項的分母,則橢圓的焦點在x軸上,反之,焦點在y軸上.

(2).求橢圓的標準方程的方法:⑴ 定位——正確判斷焦點的位置;⑵ 定量——設出標準方程後,運用待定係數法求解a、b.

3.橢圓的幾何性質:線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等於2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點,稱為橢圓的頂點.

離心率:橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0<e<1.e越接近於1時,橢圓越扁;反之,e越接近於0時,橢圓就越接近於圓.

4.點與橢圓的位置關係(1)點在橢圓的內部.

(2)點在橢圓的外部

(二)雙曲線 1.定義:若f1,f2是兩定點,(為非零常數),則動點p的軌跡是雙曲線。

注:(1)若2a=||,則動點的軌跡是兩條射線;(2)若2a>||,則無軌跡.(3)若去掉絕對值號,動點的軌跡僅為雙曲線的乙個分支。

2.雙曲線的標準方程:和(a>0,b>0)注:

(1)(與橢圓比較)(2)雙曲線的標準方程判別方法是:如果項的係數是正數,則焦點在x軸上;如果項的係數是正數,則焦點在y軸上.對於雙曲線,a不一定大於b,因此不能像橢圓那樣,通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條座標軸上.

(3)求雙曲線的標準方程,應注意兩個問題:⑴ 定位——正確判斷焦點的位置;⑵ 定量——設出標準方程後,運用待定係數法求解a,b.

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