2010—2011學年度第一學期期中考試
高二數學（理科2011.4
試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共150分。考試時間120分鐘。
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.把答案填在題後括號內.）
１.向量對應的複數是
a. b. cd.
２.滿足條件的複數在復平面上對應點的軌跡是
a．一條直線 b．兩條直線 c．圓d．橢圓
３.菱形的對角線相等，正方形是菱形，所以正方形的對角線相等，以上三段論推理中錯誤的是
ａ．大前提小前提推理形式 d．大小前提及推理形式
４.若質點按規律運動，則秒時的瞬時速度為
abcd.
５.對於上可導的任意函式，若滿足，則必有
abcd6．曲線在處的切線的傾斜角是
abcd.
7．函式在區間上的最小值為
d． 8．函式的極大值為
abcd.
9．曲線和所圍成圖形的面積
abc． d．
10．定義在上的函式滿足：,若方程有且只有三個不等實根，且是其中之一，則方程的另外兩個根必是
a.， bcd.，
11．已知整數按如下規律排成一列：
則第個數對是
12．設函式，的零點分別為，則（ ）
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．）
13．設，且（為虛數單位），則
14. 用反證法證明命題「如果，那麼」 時，應假設
15.函式的單調減區間為
16.曲線在點處的切線與座標軸所圍三角形的面積為
17.若三角形內切圓半徑是，三邊長為則有三角形面積.根據模擬思想，若四面體內切球半徑是，四面體四個面的面積是則四面體的體積
18．已知函式的圖象如圖所示，
則三、解答題（本大題共6小題，共60分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）
19．（本題9分）已知複數.
（ⅰ）當實數取什麼值時，複數是:①實數； ②虛數；③純虛數；
（ⅱ）在復平面內，若複數所對應的點在第二象限，求的取值範圍.
解：20．（本題9分）
（ⅰ）已知,求證:.
證明：（ⅱ）已知，求證：.
證明：21. （本題9分）已知數列滿足.
（ⅰ）依次計算；
（ⅱ）猜想的表示式，並用數學歸納法進行證明.
解： 22．（本題9分）
將直徑為的圓木鋸成長方體橫樑，橫截面為
矩形，橫樑的強度同它的斷面高的平方與寬的積成
正比（強度係數為，）．要將直徑為的圓木鋸
成強度最大的橫樑，斷面的寬應是多少？
解： 23．（本題10分）
已知函式其中為自然對數的底數.
(ⅰ)討論函式的單調性；
(ⅱ)求函式在區間上的最大值.
解：24. （本題14分）
已知三次函式.
（ⅰ）若函式過點且在點處的切線方程為，求函式的解析式；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若，都有，求實數的最小值；
（ⅲ）當時，，試求的最大值，並求取得最大值時的表示式.
解： 2010—2011學年度第二學期期中考試參***
高二數學（理科2011.4
一、選擇題（本大題共12小題，每小題6分，共60分.）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）
1314. 1516.
1718．
三、解答題（本大題共6小題，共60分．）
19．（本題9分）
已知複數.
（ⅰ）當實數取什麼值時，複數是:①實數； ②虛數；③純虛數；
（ⅱ）在復平面內，若複數所對應的點在第二象限，求的取值範圍.
解：（ⅰ）
1分 ①當時，即或時，複數為實數. …………2分
②當時，即且時，複數為虛數. …………3分
③當時，解得，
即時，複數為純虛數5分
（ⅱ）若複數所對應的點在第二象限，則7分
解得，所以.所以，的取值範圍. …9分
20．（本題9分）
（ⅰ）已知,求證:
證明：因為1分
所以2分
同理.3分
所以4分
（ⅱ）已知，求證：
證明：要證，
只需證明5分
兩邊平方得，……6分
只需證明7分
兩邊平方得8分
即，所以原不等式成立9分
21. （本題9分）
已知數列滿足.
（ⅰ）依次計算；
（ⅱ）猜想的表示式，並用數學歸納法進行證明
解：（ⅰ）因為，
所以3分
（ⅱ）猜想5分
證明：①當時，顯然成立6分
②假設時7分
當時，.…………8分
故當時，結論成立.
由①、②可知，對，都有成立. . …………19分
22．（本題9分）
將直徑為的圓木鋸成長方體橫樑，橫截面為
矩形，橫樑的強度同它的斷面高的平方與寬的積成正比
（強度係數為，）．要將直徑為的圓木鋸成
強度最大的橫樑，斷面的寬應是多少？
解：設斷面高為，則．
橫樑的強度函式，
所以3分
所以．令解得（舍負）． ……5分
當時，；當時，． ……6分
因此，函式在定義域內只有乙個極大值點．………………7分
所以在處取最大值，就是橫樑強度的最大值8分
即當斷面的寬為時，橫樑的強度最大9分
23．（本題10分）
已知函式其中為自然對數的底數．
(ⅰ)討論函式的單調性；
(ⅱ)求函式在區間上的最大值．
解1分 ①當時，令=0, 得．
若則,從而在上單調遞增；
若則,從而在上單調遞減． ………………3分
②當時,令,得,故或． ………4分
若,則，從而在上單調遞增； ………5分
若則，.從而在)上單調遞減；……6分
若， 則，從而上單調遞增． ……………7分
(ⅱ)①當時,在區間上的最大值是. …………8分
②當時,在區間上的最大值是.………9分
③當時,在區間上的最大值是．………10分
24．（本題14分）
已知三次函式．
（ⅰ）若函式過點且在點處的切線方程為，求函式的解析式；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若，都有，求實數的最小值；
（ⅲ）當時，，試求的最大值，並求取得最大值時的表示式.
解：（ⅰ）∵函式過點1分
又，函式點處的切線方程為，
∴，即3分
由①和②解得，故4分
（ⅱ）由（ⅰ），令，解得5分
6分∴在區間上7分
∴對，都有，
∴，從而的最小值為8分
（ⅲ）∵，
則，可得．……………10分
∵當時，，∴，，．
∴．∴，故的最大值為12分
當時，，解得．
∴取得最大值時14分
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