第八章相量法
由於工業中電力系統的電壓電流均採用正弦形式，且在電子線路中，往往各點電位與各處電流均為同頻率的正弦量，同時非正弦形式的週期函式均可通過傅利葉變換分解為頻率成整數倍的正弦函式的無窮級數，……因此，正弦交流電路的特殊分析方法具有十分重要的意義。
而相量法正是正弦交流電路主要分析方法，其意義與拉氏變換有類似之處。意於用相量代換電路中的電量，將電路方程的性質從微分方程變為代數方程，從而簡便地求取以正弦函式作為輸入函式的微分方程的特解。
◆ 重點：
1． 正弦量的三要素及其表示方法
2． 基爾霍夫定律的向量形式
3． 電路元件的vcr的相量表示
8.1 有關的數學知識複習
8.1.1 與電路分析相關的正弦函式的有關知識
一、 正弦函式的表示形式（以電流為例）
1． 代數形式：
2． 正弦函式的三要素
◆ 變化的幅度——幅值（最大值）、有效值
幅值（最大值）——，工程中所指的耐壓值指最大值。
有效值——均方根值，與正弦量的相位及頻率無關。工程中所指的正弦電壓電流大小均指有效值。
幅值（最大值）、有效值的關係（學生自行推導）
◆ 變化的快慢——週期、頻率、角頻率
週期t——最小正週期t：
頻率f——週期函式每秒變化的次數
角頻率——相角（）隨時間變化的速度
週期t、頻率f、角頻率之間的關係：
，◆ 變化的計時起點——相位、初始相位、初始相角
正弦量的相位：
正弦量的初始相位：
相位超前（滯後）：，，，即相位差時，稱正弦量a超前於b，正弦量b就滯後於a，；
同相：同頻率的正弦量相位差為零時，稱「同相」；
反相：同頻率的正弦量相位差為180度時，稱「反相」；
8.1.2 複數的有關知識
一、複數的表示形式
1． 代數形式：
2． 三角形式： 。其中為複數a的模（幅值），它恆大於零。
兩種形式之間的變換：，，即，
3． 指數形式
利用尤拉公式：，可以直接將複數的三角形式轉化為指數形式：
4． 極座標形式
當然也就可以很容易寫為極座標形式：
二、 複數的運算
1． 加、減法
設，，則
直接用相量圖的平行四邊形法則或三角形法則求解複數的加減法：
2． 乘、除法
設，，則
，由此可見，當使用複數的代數形式時，進行複數的乘除法運算比較複雜。
如果設，，則
，由此可見，當使用複數的極座標形式時，進行複數的乘除法運算比較簡單，只需將複數的模相乘（除），複數的幅角相加（減）就可以了。
◆ 旋轉因子——與
對於任意相量，，也就是說，旋轉因子（）與任意相量的乘積的結果，即為該相量逆（順）時針旋轉90度。
8.2相量法的基本思想
注意「向量」與「相量」的不同，前者用來表徵具有大小及方向的物理量，比如例速度等等，後者往往用於表徵一定振幅及相位的正弦量。
如果乙個模與相角一定的相量，可以唯一地與乙個頻率確定，幅值等於相量的模，而相位等於相量的相角的正弦量，簡單說，就是可以用乙個向量來唯一地代換乙個正弦量，那麼就可以用相量的計算代換正弦量的計算，從而大大簡化計算過程。
以下將以電壓為例。
8.2.1 正弦電量的相量表示
1．正弦量與相量
以電壓為例，
其中指數函式實際上是以為角頻率旋轉的旋轉相量，由此可見，在角頻率一定的情況下，正弦量與相量之間可以建立起一一對應的關係，其中。
注意：這裡的相量與正弦量不能劃等號，只不過用相量與正弦量表示同乙個物理量而已，這樣的概念與後面將要講到的拉氏變換的意義相同。
2．旋轉相量與正弦量的圖示
3．幅值相量與有效值相量
由於前面講到過有效值與幅值之間的關係，因此正弦量的相量表示既可以用幅值相量，也可以用有效值相量，只不過要注意它們之間的轉換，而且在分析中最好用同一種相量形式（建議使用有效值相量）。
4．相量圖
1）用帶有正弦量資訊的相量表示正弦量
2）計算中，同一相量圖中相量必須同頻率
8.2.2 正弦量的計算
1．加減法
同頻率的正弦量的線性組合，可以用相應的相量的線性組合計算。即
2．微分計算
3．積分計算
8.2.3 相量法求解動態電路的特解
有以下微分方程：
其中…及、、均為實常數。
由於，其中，
如果不是特徵方程的根，則方程的特解可以設為同頻率的正弦量，即
，其中將上述式子代入原微分方程：
將求到的運算納入求實部的符號內，則
這樣就可以得到關於原微分方程的代數方程：（複數方程）
所以：由於
這樣就求出了特解
對於正弦激勵下的動態電路的解而言，乙個線性非時變電路的通解總是乙個隨著時間不斷衰減的暫臺分量，而其特解即為穩態分量，因此，用相量法可以十分簡單地求解正弦電路的穩態響應。
8.2.4 電路定理的相量形式
1．kcl與kvl定律
2．電阻元件
可見電阻元件兩端的電壓與流過它的電流同頻、同相，且電壓振幅為電流振幅的r倍。
3．電感元件
可見電感元件兩端的電壓與流過它的電流同頻，電壓超前電流90o，且電壓振幅為電流振幅的倍。
4．電容元件
可見電感元件兩端的電壓與流過它的電流同頻，電壓滯後電流90o，且電壓振幅為電流振幅的倍。
5．相量形式的歐姆定律1
第8章全文總結
對被動式液阻懸置的研究，作者建議開展如下方面的研究工作。1 應開展橡膠減振元件動態特性有限元分析方面的研究。在橡膠超彈性本構關係中，只考慮了應力與應變的關係，而沒有考慮應力 應力率和應變 應變率的關係，因此，超彈性本構關係只適合進行橡膠元件靜態彈性特性的分析。建議應用粘彈性理論 58,96 超粘彈性...
第8章複習
1 某百貨公司1991 1995年的商品銷售額資料如下 計算各種動態分析指標，驗證並說明如下關係 1 發展速度與增長速度 2 定基發展速度與環比發展速度 3 增長1 的絕對值與前期水平 4 增長量 增長速度與增長1 的絕對值 5 逐期增長量 累積增長量與平均增長量 6 平均發展速度與環比發展速度 7...
第8章小結
第八章多元函式微分法及其應用 教學大綱基本要求 1 理解多元函式的概念，會求多元函式的定義域 2 了解二元函式的極限與連續性的概念 3 理解偏導數和全微分的概念，掌握多元函式連續 可導 可微之間的關係 4 掌握復合函式求一階 二階偏導數的求法，會求隱函式的偏導數 5 了解曲線的切線和法平面及曲面的切...