第八章多元函式微分法及其應用
教學大綱基本要求
1、理解多元函式的概念，會求多元函式的定義域；
2、了解二元函式的極限與連續性的概念；
3、理解偏導數和全微分的概念，掌握多元函式連續、可導、可微之間的關係；
4、掌握復合函式求一階、二階偏導數的求法，會求隱函式的偏導數；
5、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程；
6、理解方向導數和梯度的概念並掌握其計算方法；
7、理解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，了解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函式的最大值和最小值並會解決一些簡單的應用問題.
一、基本概念
1、平面點集
2、維空間及其運算
3、多元函式的概念、求多元函式的定義域
4、多元函式的極限 ，其中的方式是任意的
（1）（判斷極限型別後，以前的方法不能用時）求多元函式極限的方法主要有：
①、夾逼準則：將函式（或其絕對值函式）進行適當地放大和縮小，且放大和縮小後的函式有相同的極限
②、當且函式中含有項時，可令，
變形：（2）證明多元函式極限不存在的方法主要有：①、取兩個不同的路徑 ②、若滿足條件，可令推出極限不存在
5、多元函式的連續性
6、有界閉區域上連續函式的性質最大值最小值定理、介值定理
7、多元初等函式
二、微分方法
1、偏導數
（1）偏函式的定義： 偏增量比的極限
注：這裡是乙個整體記號，拆開沒有意義，不能看作分子與分母之商，這與一元函式的導數不同.
（2）偏導數的計算方法：只對所求變元運用一元函式求導方法和公式進行計算，而把其餘變元視為常數
注：求分段函式分段點、不連續點的偏導數要用定義求。
（3）偏導數的幾何意義
表示曲面與平面的交線在點處的切線對軸的斜率；
表示曲面與平面的交線在點處的切線對軸的斜率
（4）高階偏導數函式的二階偏導數包括：
定理若函式的兩個二階混合偏導和在區域內連續，那麼在內這兩個偏導數相等.
注：此定理可推廣至二元以上的函式，即高階混合偏導數在偏導數連續的條件下與求導的次序無關
4、全微分
（1）偏微分、可微分、全微分的定義
（2）全微分公式多元函式的全微分等於它的各個偏微分之和（疊加原理）.
（3）全微分形式不變性
若函式具有連續偏導數，無論是自變數還是中間變數，其全微分形式是一樣的：.
（4）多元函式連續、可導、可微的關係(見下圖，未劃線表示不能推出；注意與一元函式區別記憶)
總結：函式在某一點連續
函式在某一點可導偏導數都存在
函式在某一點可微
偏導數在某一點連續函式在點連續
注： 偏導數連續函式可微：p21定理2，可微的充分條件；
函式可微函式連續：p19倒數第7行證明；
函式可微函式可導：p20定理1，可微的必要條件；
函式可導函式連續：書p15－16，說明＋反例
5、多元復合函式鏈式法則：
多元復合函式鏈式法則求導數或偏導數的方法：
若[, , ]，則此時
法1 可將中間變數代入，作為顯函式直接求導或求偏導；
法2 畫出函式、中間變數、自變數鏈式圖，根據復合函式求導鏈式法則，求出一階導數或偏導數；
若[, , ]，則此時：
法1 項數＝，而其中每一項＝[, , , ]；
法2 畫出函式、中間變數、自變數鏈式圖（包括抽象函式），分清它們之間的關係；根據鏈式圖「分道相加，連線相乘」的原則，求出一階導數或偏導數；
法3 若復合函式的某些中間變數本身又是復合函式的自變數，則可引入新的中間變數，將中間變數與自變數分離，再利用上面所述方法.
若進一點求高階導數或偏導數，要注意仍然是復合函式，並且它們保持與原函式相同的復合結構.
注：記號表示外層函式對第個變數求偏導數； 記號表示對第個變數求偏導數後再對第個變數求偏導數.
6、隱函式的求導公式
（1）[, , , ]，此時是的函式，則求方法有：
①、方程兩邊同時對求導；
②、公式：
（2）[, , , ]，此時是函式，是自變數，則求的方法有
①、方程兩邊分別對和求偏導；
②、公式：
（3）[, , , ]，此時是的函式，也是的函式，則求的方法有
①、方程組兩個方程兩邊對求導，得到關於的兩個方程，再求出；
②、公式：
（4）[, , , ]，此時是的函式，也是的函式，
則求的方法有：
①、方程組兩個方程兩邊對求偏導，得到關於的兩個方程，再求出；
方程組兩個方程兩邊對求偏導，得到關於的兩個方程，再求出；
注：1、理解、記憶隱函式求導公式的關鍵在於，由題目所求的導數或偏導數，明確方程或方程組所確定的函式和自變數；
2、乙個方程確定乙個函式；兩個方程確定兩個函式.
總結：求解由方程或方程組確定的函式的導數或偏導數的方法有
1、方程（或方程組）兩邊對（ ）求導（或求偏導），此時，（ ）是函式，（ ）是自變數；
2、方程（或方程組），此時，（ ）是函式，（ ）是自變數；
求出各個導數或偏導數，再代入相應的求導公式
求導公式的特徵求導公式是乙個，是方程函式對方程所確定的函式的偏導數，或方程組函式對方程組所確定的兩個函式的偏函式所組成的雅可比行列式；相應於分母作相應替換。
三、微分的應用
1、幾何應用
（1）空間曲線的切線與法平面，關鍵是確定切線的方向向量（切向量）
①、[, , , , ]，在點，則切向量
從而，切線方程： ；法平面方程：
②、空間曲線（柱面的交線）：，在點，
，是引數，從而由①，得切向量
③、空間曲線（曲面的交線）：，在點，
[, , , ]，從而由②，切向量 ，
其中，由隱函式求導公式，得
注：三種情形可看作層層遞進的關係，從而只須了解曲線方程如何轉化，及第1種情形下的切向量的座標表示式.
（2）空間曲面的切平面與法線，關鍵是確定切平面的法線向量（或：法線的方向向量，法向量）
切平面：空間曲面上一點處的所有切線所在的平面；法線：與切平面垂直的直線；它們的方向相同
①、[, ]，在點，則法向量
從而，切平面方程： ；法線方程：
②、[, ]，在點，
，從而，由①得，法向量
注：兩種情形也可看作遞進的關係，從而只須了解曲面方程如何轉化，及第1種情形下的法向量的座標表示式
2、方向導數與梯度
（1）方向導數(「方向」：方向余弦，「導數」：偏導數)
定義：函式在點沿方向的方向導數
，其中是與同方向的單位向量
計算： 如果函式在點是可微分的，則函式在該點沿任一方向l的方向導數都存在，且
其中是方向l的方向余弦.
注：①、函式在該點可微，是函式在該點的方向導數公式可用的充分條件；
②、此公式可推廣到三元函式的情形：三元函式在點是可微分，為的方向余弦，則；
③、有些教材中，，
其中為軸正向按逆時針方向轉到方向所轉過的角度，.在具體題目中，應判斷所給的角是方向角還是轉過的角度，因為角的取值範圍不同.
④、函式在某一點處對（或對）的偏導數存在沿軸（或軸）方向的方向導數存在；反之不成立
（2）梯度 ，
或， （3）二者的關係
其中是向量與單位向量的夾角. 當，即沿著梯度（向量）方向時，方向導數取得最大值，此時方向導數的最大值即為梯度的模。這就是說：
函式在一點處的方向導數沿著梯度方向取得最大值，最大值為梯度的模。或：函式在一點處的梯度是個向量，它的方向是函式在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模就等於方向導數的最大值.
3、多元函式的極值及最大值、最小值
（1）多元函式的極值書p53定理1、定理2，符號判定法，極值點只可能在駐點或偏導數不存在的點取得
（2）多元函式的最值書p55 最值點只可能在駐點、不可導點、區域邊界上取得
4、條件極值拉格朗日乘數法
例利用拉格朗日乘數法求解目標函式在約束條件下的條件極值的步驟：
（1）建構函式；
（2）求解方程組解出同時滿足五個方程的點，稱為條件駐點；
（3）利用符號判斷駐點是否為極值點，是極大值點還是極小值點.
關鍵：從題目已知條件中判斷目標函式(求最值的函式)是什麼，有哪些約束條件(點滿足的等式)。
注：若根據問題性質，知道函式的最值一定在某一區域內取得，且函式在內只有乙個駐點，那麼可以肯定該駐點處的函式值就是所求的函式在內的最大值（最小值）.
第8章複習與小結
班級 姓名學號 知識梳理 一.知識結構 分式的小結 二.複習要點 1.分式的概念是中考考點之一，分式的性質是分式進行恒等變形的理論基礎，通分 約分是分式性質的一種運用。2.分式運算是本章的重點內容之一，也是中考的考點之一，它必須在熟練運用法則的前提下，按正確的運算順序進行運算。3.解分式方程的思想是...
初中第8章複習與小結
知識梳理 一.知識結構 分式的小結 二.複習要點 1.分式的概念是中考考點之一，分式的性質是分式進行恒等變形的理論基礎，通分 約分是分式性質的一種運用。2.分式運算是本章的重點內容之一，也是中考的考點之一，它必須在熟練運用法則的前提下，按正確的運算順序進行運算。3.解分式方程的思想是將分式方程轉化為...
第8章複習
1 某百貨公司1991 1995年的商品銷售額資料如下 計算各種動態分析指標，驗證並說明如下關係 1 發展速度與增長速度 2 定基發展速度與環比發展速度 3 增長1 的絕對值與前期水平 4 增長量 增長速度與增長1 的絕對值 5 逐期增長量 累積增長量與平均增長量 6 平均發展速度與環比發展速度 7...