為了更好的理解後驗分布我們來看乙個例子
例1：為提高某產品的質量，公司經理考慮增加投資來改進生產裝置，預計需投資90萬元，但從投資效果上看下屬兩個部門有兩種意見：
：改進生產裝置後，高質量產品可佔90%
：改進生產裝置後，高質量產品可佔70%
經理當然希望發生，但根據兩部門過去意見被採納的情況，經理認為40%第乙個部門是可信度的，60%第二個部門是可信度，即隨機變數投資結果過的先驗分布列為：；
這是經理的主管意見，經理不想僅用過去的經驗來決策此事，想慎重一些，通過小規模實驗，觀察其結果後再定。為此做了一項實驗，實驗結果（記為a）如下：
a：試製五個產品，全是高質量產品。
經理很高興，希望通過這次結果來修正他原來對和的看法。下面我們分別來求一下和的後驗概率。
如今已有了和.還需要條件概率和,這可根據二項分布算的，
； 由全概率公式可算的
最後由後驗分布公式可求得：
這表明，紀理根據實驗a的資訊調整了自己對投資結果的看法，把對和的信任度由0.4,和0.6分別調整到了0.
7和0.3。後者綜合了經理的主觀概率和實驗結果而獲得，要比主觀概率更具有吸引力，更貼近當前實際。
當然經過實驗a後經理對投資改進質量的興趣更大了，但如果為了進一步保險起見可以把這次得到的後驗分布列再一次作為先驗分布在做實驗驗證，結果將更貼近實際。
從上面這個例子中我們初步體驗到了後驗的求法，同時也能夠看到貝葉斯統計的實用性。貝葉斯統計應用最做的是在決策方面，決策就是對一件事做出決定，它與統計推斷的區別在於是否涉及到後果。統計推斷依統計理論而進行，很少考慮到推斷結果被使用時所帶來的利潤或造成的損失，這在決策中恰恰是不能忽略的。
度量利損得失的尺度就是收益函式與損失函式，把收益函式和損失函式加入到貝葉斯推斷就形成了貝葉斯決策論。
在這裡首先明確幾個概念
狀態集，其中表示自然界（或社會）可能出現的一種狀態，所有可能的狀態的集合組成狀態集。
行動集，其中每乙個元素表示人對自然界可能採取的乙個行動。
損失函式 ，在乙個決策問題中假設狀態集為，行動集為，定義在上的二元函式稱為損失函式，假如它能表示在自然界（或社會）處於狀態，而人們採取行動對人們引起的（經濟的）損失。
決策函式：在給定的貝葉斯決策問題中，從樣本空間到行動集上的乙個對映稱為該決策問題的乙個決策函式。
狀態集，行動集，損失函式是構成乙個決策問題必不可少的三個要素。
風險函式：評價t的優劣標準用平均損失,即
稱為t在處的風險函式
後驗風險：損失函式對後驗分布的期望稱為後驗風險
決策空間：設隨機變數x的概率函式或概率密度函式為，其中未知。對引數採取的所有「行動」（估計）組成的集合稱為決策空間，記為a，在一般問題中，a是實數集且可測。
有了上面的基礎，我們就可以討論貝葉斯估計量了，為了簡便起見，在這裡假設x的分布和的分布均為連續型。貝葉斯估計的基本思想就是選擇乙個估計值，使得平均損失最小，即使
最小。我們知道，後驗分布是對先驗分布的調整，在獲得了一組樣本的觀測值之後，我們用的後驗概率密度函式代替，則上式寫為：
如果對樣本的任何一組觀測值，令表示使上式最小的估計值，即，則稱為的貝葉斯估計量。滿足下式
如果損失函式是平方形式，即,則其貝葉斯估計量為
證明：在平方損失函式下，任何乙個決策函式的後驗風險為
此後驗分先的最小值僅在達到。
下面看看課本上的例題。
3.5節點估計的優良性
貝葉斯估計方法學習感想及看法
一切估計的目的是要對未知引數作統計推斷。在沒有樣本資訊時，我們只能依據先驗分布對作出推斷。在有了樣本觀察值之後，我們應依據對作出推斷。若把作如下分解 其中是的邊際概率函式 它與無關，或者說中不含的任何資訊因此能用來對作出推斷的僅是條件分布，它的計算公式是 貝葉斯統計學關鍵是首先要想方設法先去尋求 的...
貝葉斯方法評估系統 產品 的可靠性
式中 0 r0為驗前分布引數。似然函式為 f 1，r1 m，rm 1 m e 1，r1 m，rm 的邊緣密度函式為 f 1，r1 m，rm 1 m f 1，r1 m，rm 1 m d 1 d m 經推導，驗後密度函式為 f 1，r1 m，rm 1 m d 1 d m 第m階段產品故障率 m的密度函式...
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