內容提要
一、圓軸扭轉時的彈塑性分析
屈服扭矩塑性材料製成的圓軸，當其最大切應力達到屈服極限時，相應的扭矩為屈服扭矩(圖12-1)
12-1)
理想彈塑性假設當時，和為非線性關係，為簡化計算，將曲線簡化為如圖12-2所示，由圖可見，時；時切應力保持不變，切應變任意增加。這樣的材料稱為理想彈塑性材料。
極限扭矩圓軸橫截面上的切應力全部達到屈服極限時相應的扭矩為極限扭矩(圖12-3)
12-2)
彈塑性狀態當時，圓軸橫截面上直徑為的部分為彈性區，該部分中的切應力，變形為彈性變形。其餘部分為塑性區，該部分中的切應力，變形為塑性變形(圖12-4)。扭矩為彈性區和塑性區兩部分的扭矩之和，即
12-3)
12-4)
單位長度的扭轉角為
12-5)
殘餘應力當時，卸去荷載，即反向加，此時的和仍為線性關係，，，如圖12-5所示。將圖12-5和圖12-4所示的切應力疊加，橫截面上的應力即為殘餘應力如圖12-6所示，對應的扭矩和自相平衡，即
殘餘扭轉角當時，反向加，單位長度的扭轉角為
12-6)
殘餘扭轉角為12-7)
二、梁的彈塑分析
理想彈塑性假設對梁和拉壓桿系進行彈塑性分析時，仍採用理想彈塑假設，其曲線如圖12-7所示，其材料稱為理想彈塑性材料。
ⅰ、純彎曲
屈服彎矩橫截面上的最大彎曲正應力達到屈服極限時，相應的彎矩為屈服彎矩(圖12-8a)。
12-8)
極限彎矩橫截面上的彎曲正應力全部達到屈服極限時，相應的彎矩為極限彎矩(圖12-8b)，由橫截面上受拉區面積和受壓區面積相等，確定極限狀態時的中性軸位置。
12-9)
12-10)
式中，、分別為橫截面上受拉區和受壓區的面積對中性軸的靜矩，均取正值。稱為塑性彎曲截面係數。
殘餘應力當時，橫截面上彎曲正應力沿其高度的分布規律如圖12-8c所示，其中高度的部分為彈性區，其餘部分為塑性區。反向加時，彎曲正應力和線應變仍為線性關係，彎曲正應力沿橫截面高度的分布規律如圖12-8d所示。將圖12-8的d和c上的應力疊加，橫截面上的正應力如圖12-8e所示，此即殘餘應力，相應的彎矩。
ⅱ、 橫力彎曲
屈服荷載當危險截面上的最大正應力達到屈服極限時，與此相應的荷載為屈服荷載。在圖12-9a中，屈服彎矩及屈服荷載分別為
彈塑性狀態當時，在圖12-9，b中，
極限荷載最大彎矩達到極限彎矩時，相應的荷載為極限荷載，在圖12-9,c中，
塑性鉸極限彎矩所在截面處，猶如在此處安裝乙個鉸鏈，通常稱為塑性鉸(圖12-9,c)。它是由塑性變形而形成的，但可以承的抽象鉸。不能承受的彎矩；解除安裝時，不起鉸的作用，可以承受彎矩。
三、拉壓超靜定杆系的彈塑性分析
屈服荷載在拉壓超靜定杆系中，其中有一根桿上的正應力達到屈服極限時，相應的荷載為屈服荷載。
極限狀態至少有桿屈服時(n為超靜定次數)，超靜定結構成為可變機構，喪失承載能力。
極限荷載極限狀態時相應的荷載為極限荷載。
例12-1 由理想彈塑性材料製成的圓杆，求載入至彈性區的直徑等於圓杆直徑d之半時，然後解除安裝產生的殘餘應力及單位長度的殘餘扭轉角。
解：由(12-3)式得時的扭矩為
反向加t時，橫截面上的切應力如圖b所示
將載入時的應力(圖a)和解除安裝時的應力(圖b)疊加得殘餘應力如圖c所示。彈性區的扭矩為
在處的殘餘應力為
塑性區的扭矩為
可見解除安裝後單位長度的殘餘扭轉角由(12-7)得
例12-2 由理想彈塑性材料製成的圓軸如圖a所示，，，，。求c截面的扭轉角。
解：1、解超靜定
2、屈服扭矩和極限扭矩分別為
，∴cb段進入極限狀態，其扭矩，保持不變，ac段的扭矩，扭矩圖如圖c所示。，∴ac段仍處於線彈性階段。
3、c截面的扭轉為
討論：該題中若，求。
ac段的扭矩為
，ac段發生彈塑變形，由(12-4)、(12-5)式得彈性區的直徑和c截面的扭轉角分別為
例12-3 圖a所示t形截面梁，截面對形心軸的慣性矩為，材料為理想彈塑性，屈服極限。試求：
(1)屈服彎矩；(2)極限彎矩；(3)極限狀態下解除安裝時的殘餘應力。
解：(1)求屈服彎矩
當橫截面下邊緣處的應力達到屈服極限時，相應的彎矩為屈服彎矩。(圖b)
(2)求極限扭矩
由橫截面上受拉區和受壓區面積相等的條件確定極限狀態時的中性軸z的位置(圖a)。橫截面上應力分布如圖c所示。塑性彎曲截面係數為
極限彎矩為
(3)求極限狀態下解除安裝時的殘餘應力
反向加，並注意此時應力和應變為線性關係，中性軸為，應力分布規律如圖(d)所示。
將圖d和圖c所示應力疊加後，可得殘餘應力如圖e所示。
例12-4 矩形截面簡支梁如圖a所示，，，材料為理想彈塑性，屈服極限。試求該梁的極限荷載。
解：矩形截面樑到極限狀態時，中性軸仍為形心軸z，塑性彎曲截面係數為
極限彎矩為
梁的支反力為
梁的剪力方程為
令得梁的彎矩圖如圖所示，(設該處為d截面)
當d截面出現塑性鉸時，梁進入極限狀態如圖c所示。
令即得 *例12-5 圖a所示超靜梁的彎曲剛度為ei。求其極限荷載，並分析破壞過程。
解：1、解超靜定
由，得m圖如圖b所示，可見
2、當f增加到時，a截面處形成塑性鉸，原超靜定梁成為簡支梁如圖c所示。
，得m圖如圖d所示。
3、當增加到時，使c截面形成塑性鉸，梁成為可變機構，達到極限狀態(圖e).
由 ，即
得式中，與橫截面形狀、尺寸以及材料的屈服極限有關。
討論：1、因為超靜定樑中有多餘約束，其中乙個截面處形成塑性鉸時，梁上的荷載還可以增加，當荷載增加到使梁成為可變機構時才達到極限狀態。
2、只求時，可以直接分析「可能的極限狀態」，利用極限狀態荷載最小化的條件選出「真正的極限狀態」和。該題的極限狀態如圖e所示。
分別由cb段和ab梁的平衡方程，即
， ，，得*例12-6 圖a所示超靜定梁，其材料為理想彈塑性，屈服極限為，彈性模量為e，求該梁的極限荷載。
解：對於圖a所示超靜定梁，出現兩個塑性鉸時，將達到極限狀態，第乙個塑性鉸在a截面，設第二個塑性鉸在距a端為x的c截面，可能的極限狀態如圖b所示。
以cb段為研究物件，由 得
以ab梁為研究物件，由
得1) 第二個塑性鉸的位置，應使為最小，即
2)將(2)式代入(1)式，得
例12-7 圖a所示超靜定桁架中，三桿的材料相同，其材料為理想彈塑性，彈性模量為e，三桿的橫截面面積均為a。試求：
(1)結構的屈服荷載和極限荷載；
(2)分別求f=fs和f=fu時，a點的鉛垂位移；
(3)荷載達到極限荷載時，卸除荷載，三桿的殘餘應力及a點的殘餘鉛垂位移。
解：分析：當三根中受力最大一根杆的橫截面上的應力達到屈服極限時，結構開始屈服，相應的荷載為，此時結構並未喪失承載能力。
當荷載增加到使其餘兩根杆或者其中之一杆的橫截面上的應力達到屈服極限時，結構喪失承載能力達到極限狀態，相應的荷載為極限荷載。
1、時，解超靜定，得
1)2)
可見2、f增加到時，
由(2)式，得
3)由圖(b)所示，結點a的平衡方程，得得4)
2、繼續增加荷載，3杆應力保持不變，增加的荷載由1、2兩桿承擔，當時達到極限狀態，由圖c所示結點a的平衡方程，得極限荷載為
5) 3、求a點的鉛垂位移
時，，由圖d得
6)當時，考慮到剛進入極限狀態的瞬時，3杆已屈服，a點的位移是由1、2杆的變形產生的，由e圖得
7)和f的關係如圖f所示。
4、求殘餘應力和a點的殘餘位移
當時，卸去荷載，亦即反向加，並注意到解除安裝時和仍成線性關係，利用(1)、(2)和(5)式，得
8)時，
殘餘應力為
解除安裝時a點的位移為
殘餘位移為
例12-8 圖a所示超靜定桁架中，各桿材料相同，且均為理想彈塑性材料，屈服極限為，彈性模量為e，各桿橫截面面積均為a。試求該桁架的極限荷載。
解：該題為一次超靜定桁架，三根桿中任意兩桿屈服，桁架就達到極限狀態，可能的極限狀態如圖a、b、c所示。其中圖d中所示狀態不能滿足平衡方程，故是不可能的。
在圖b中，由
，得1)
在圖c中，由
，得，得
2)當時，有，該桁架的極限荷載為
3) 討論：求拉壓杆系超靜定結構的極限荷載的步驟為：1、分析可能的極限狀態；2、由平衡方程求出各極限狀態時的；3、取中的最小值作為結構的極限荷載。
第十二章計畫的實施
一 教學要點 1 計畫實施的任務。2 目標管理的基本思想。3 目標的基本性質。4 目標管理的過程。5 滾動計畫法的基本思想。6 滾動計畫法的優缺點。7 網路計畫技術的基本步驟。8 網路圖的基本構成及繪製方法。9 網路計畫技術的優缺點。10 關鍵名詞 戰略性計畫 目標管理 滾動計畫法 網路計畫技術 網...
第十二章計畫的實施
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第十二章計畫的實施習題
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