（2023年虹口二模）21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）
如圖，cd為⊙o的直徑，cd⊥ab，垂足為點f，ao⊥bc，垂足為點e，.
（1）求ab的長；
（2）求⊙o的半徑．
23．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）
已知：如圖，在□abcd中，ae是bc邊上的高，將△abe沿bc方向平移，使點e與點c重合，得△gfc．
（1）求證：be=dg；
（2）若∠bcd=120°，當ab與bc滿足什麼數量關係時，
四邊形abfg是菱形？證明你的結論．
（2023年黃埔二模）21. （本題滿分10分，第（1）、（2）小題滿分各5分）
如圖6，d是⊙o弦bc的中點，a是上一點，oa與bc 交於點e，已知ao=8，bc=12.
（1）求線段od的長；
（2）當eo=be時，求∠deo的余弦值.
23. （本題滿分12分，第（1）、（2）小題滿分各6分）
如圖8，rt△abc中，∠acb=90°，d是邊bc上一點，點e、f分別是線段ab、ad中點，聯結ce、cf、ef.[**:學科網zxxk]
（1）求證：△cef≌△aef；
（2）聯結de，當bd=2cd時，求證：de=af.
（2023年楊浦二模）22．（本題滿分10分）
如圖，已知：⊙o是△abc的外接圓，半徑長為5，點d、e分別是邊ab和邊ac的中點，ab=ac，bc=6。求∠oed的正切值。
23．（本題滿分12分，其中第（1）小題7分，第（2）小題小題5分）
梯形abcd中，ad//bc，dc⊥bc，ce⊥ab於點e，點f在邊cd上，且。
（1）求證：；
（2）若點e為ab中點，求證：
（2023年閘北二模）21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）
已知：如圖7，在梯形abcd中，df平分∠d，若以點d為
圓心，dc長為半徑作弧，交邊ad於點e，聯結ef、be、ec．
（1） 求證：四邊形edcf是菱形；
（2） 若點f是bc的中點，請判斷線段be和ec的位置關係，並證明你的結論．
23．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）
已知：如圖9，點d是線段bc上的任意一點，
△abd和△dce都是等邊三角形，ad與be交於點f．
（1）求證：△bde≌△adc；
（2）求證：ab2 = bcaf；
（3）若bd＝12，cd＝6，求∠abf的正弦值．
（2023年浦東新區二模）21．（本題滿分10分，其中每小題各5分）
已知：如圖，∠paq=30°，在邊ap上順次擷取ab=3cm，bc=10cm，以bc為直徑作⊙o交射線aq於e、f兩點，
求：（1）圓心o到aq的距離；
（2）線段ef的長．
23．（本題滿分12分，其中每小題各6分）
已知：如圖，在正方形abcd中，點e是邊ad的中點，聯結be，過點a作,分別交be、cd於點h、f，聯結bf．
（1）求證：be=bf；
（2）聯結bd，交af於點o，聯結oe．求證：．
（2023年松江二模）21．(本題滿分10分，第（1）小題4分，第（2）小題6分)
如圖，已知在△abc中，ab=ac，,，ad⊥bc於d，o是ad上一點，od=3，以ob為半徑的⊙o分別交ab、ac於e、f．
求：（1）⊙o的半徑；
（2）be的長．
23.（本題滿分12分，每小題6分）
如圖，在正方形abcd中，e是邊cd上一點，交cb的延長線於點f，聯結df，分別交ae、ab於點g、p.
（1）求證：ae=af；
（2）若∠baf=∠bfd,求證：四邊形aped是矩形.
（2023年徐匯二模）21.（本題滿分10分）
如圖，在△abc中，ab=ac=10，sinc=，點d是bc上一點，且dc=ac．
（1） 求bd的長；
（2） 求tan∠bad．
[**:學|科|網]
23. （本題滿分12分）
已知：如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，bc=2ad，點 e是bc的中點、f是cd上的點，聯結ae、ef、ac．
（1） 求證：；
（2） 若點f是dc的中點，聯結bd交ae於點g，
求證：四邊形efdg是菱形．
（2023年金山二模）22. （本題滿分10分）
已知：如圖6，c是線段bd上一點，ab⊥bd，ed⊥bd，∠ace = 90°，tan∠acb=2，ab = 4，ed = 3.
求：（1）線段bd的長；（2）∠aec的正切值.
23. （本題滿分12分）[**:學.科.網z.x.x.k]
已知：如圖7，線段，ab∥cd，ac⊥cd，ac、bd相交於點p，e、f分別是線段bp和dp的中點．
（3） 求證：ae // cf；
（4） 如果ae和dc的延長線相交於點q，m、n分別是線段ap和dq的中點，求證：mn = ce．
（2023年寶山、嘉定二模）21．（本題滿分10分）
在學習圓與正多邊形時，馬露、高靜兩位同學設計了乙個畫圓內接正三角形的方法：
（1）如圖7，作直徑ad；
（2）作半徑od的垂直平分線，交⊙o於b，c兩點；
（3）聯結ab、ac、bc,那麼△abc為所求的三角形.
請你判斷兩位同學的作法是否正確，如果正確，請你
按照兩位同學設計的畫法，畫出△abc，然後給出
△abc是等邊三角形的證明過程；如果不正確，請說明理由．
23．（本題滿分12分，每小題滿分各6分)
如圖9，在直角梯形中，∥，， 為的中點，聯結並延長交的延長線於；
（1）聯結，求證．
（2）聯結交於，當，，
時，求的長．
（2023年崇明、靜安、青浦二模）21．（本題滿分10分，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分4分）
已知：如圖，在菱形abcd中，ae⊥bc，垂足為e，對角線bd= 4，．
求：（1）邊ab的長；
（2）∠abe的正弦值
23．（本題滿分12分，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分5分）
已知：如圖，在△abc中，ab=ac，點d、e分別是邊ac、ab的中點，df⊥ac，df與ce相交於點f，af的延長線與bd相交於點g．
（1）求證：；
（2）聯結cg，求證：∠ecb＝∠dcg．
（2023年奉賢二模）21．（本題滿分10分，第（1）小題4分，第（2）小題6分）
已知：如圖，在rtacb中，a=300，b=450， ac=8，點p在
線段ab上，聯結cp，且，
（1）求cp的長；
（2）求bcp的正弦值；
23．（本題滿分12分，每小題滿分各6分）
已知：如圖，點e是四邊形abcd的對角線bd上一點，且∠bac=∠bdc=∠dae.
⑴求證：△abe∽△acd；
⑵求證：；
（2023年閔行二模）21．（本題共2小題，每小題5分，滿分10分）
已知：如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，
小圓的半徑長為4，大圓的弦ab與小圓交於c、
d兩點，且ac=cd，∠cod = 60°．
求：（1）求大圓半徑的長；
（2）如果大圓的弦ae長為，求∠aeo的餘切．
並直接判斷弦ae與小圓的位置關係．
23．（本題共2小題，每小題6分，滿分12分）
已知：如圖，四邊形abcd是平行四邊形，分別以ab、ad為腰作等腰三角形△abf和等腰三角形△ade，且頂角∠baf=∠dae，聯結bd、ef相交於點g，bd與af相交於點h．
（1）求證：bd=ef；
（2）當線段fg、gh和gb滿足怎樣的數量關係時，
四邊形abcd是菱形，並加以證明．
（2023年普陀二模）22．如圖，已知ad既是△abc的中線，又是角平分線，
請判斷（1）△abc的形狀；（5分）
（2）ad是否過△abc外接圓的圓心o，⊙o是否是
△abc的外接圓，並證明你的結論. （5分）
（2023年楊浦基礎考）21. (本題滿分10分) 如圖，矩形abcd中，ab=3，ad=5，點e在ad上，且ae:ed=1:
4，聯結be，射線ef⊥be交邊dc於點f。求cf的長.
23．(本題滿分12分) 如圖，在平行四邊形abcd中，ae⊥bc於e，af⊥cd於f。
（1）求證：；
（2）若m、n分別是ab、ad中點，且∠b=60°，求證：em//fn．
（2023年長寧二模）23．（本題滿分12分）
如圖，在rt△abc中，∠b=90°，∠c=30°，點d、e、f分別在邊bc、ab、ac上，聯結de、ef、fd，若be=ed，且fd⊥bc.
(1) 求證:四邊形aedf是平行四邊形；
(2) 若，求證:四邊形aedf是菱形.
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