三角形的初步知識1
一、三角形的基本概念：
1、三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。
三角形abc記作：△abc。
2、相關概念：
三角形的邊：組成三角形的三條線段。記作： ab、ac、bc。
三角形的內角：每兩條邊所組成的角（簡稱三角形的角）。
記作：∠a 、∠b、 ∠c
3、三角形的分類：
二、三角形三邊關係：
1、三角形任何兩邊的和大於第三邊。
幾何語言：若a、b、c為△abc的三邊，則a+b>c,a+c>b, b+c>a.
？？這個在實際解題中該怎樣應用？
2、三邊關係也可表述為：三角形任何兩邊的差都小於第三邊。
三、三角形的內角和定理：
三角形三個內角的和等於1800。
幾何語言：△abc中，∠a+∠b+∠c=1800。
四、三角形的三線：
問題1、如何作三角形的高線、角平分線、中線？
問題2、三角形的高線、角平分線、中線各有多少條，它們的交點在什麼位置？
問題3、三角形的中線有什麼應用？
例題與練習
例1、如圖，在△abc中，d、e是bc、ac上的兩點，連線be、ad交於點f。
問：（1）、圖中有多少個三角形？把它們表示出來。
（2）、△aef的三條邊是什麼？三個角是什麼？
練習：右圖中有幾個三角形
例2、已知線段a b c滿足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,問能否以a 、b、 c 為三邊組成三角形，如果能，試求出這三邊，如果不能，請說明理由。
練習1、四組線段的長度分別為2，3，4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。其中能擺成三角形的有（ ）
a．一組 b．二組 c．三組 d．四組
2、已知三角形兩條邊長分別為13厘公尺和6厘公尺，那麼第三邊長應是多少厘公尺？
3、已知三角形兩條邊長分別為19厘公尺和8厘公尺，第三邊與其中一邊相等，那麼第三邊長應是多少厘公尺？
例3、在△abc中，∠a：∠b：∠c=1：2：3，求三角形各角的度數，並判斷它是什麼三角形。
練習：1、在△abc中，若∠a－∠b=∠c，則此三角形是（ ）
a、鈍角三角形 b、直角三角形
c、銳角三角形 d、無法確定
2、如圖，在銳角△abc中，cd、be分別是ab、ac邊上的高，且cd、be相交於一點p，若∠a=50°，則∠bpc=( )
a、150° b、100°
c、120° d、130°
3、在△abc中，如果∠a∶∠b∶∠c=2∶2∶4，則這個三角形中最大的角_______度；按角分，這是乙個_________三角形；按邊分，這是乙個_________三角形；
例4、如圖，ae、ah分別為△abc 的角平分線和高，∠b=∠bac，
∠c=360。 求∠bae和∠hae的度數。
練習：1、如圖，在△abc中，∠bac=600，∠c=400，ad是△abc的一條角平分線，求∠adc的度數。
2、如圖，ac為bc的垂線，cd為ab的垂線，de為bc的垂線，d、e分別在△abc的邊ab和bc上，則下列說法中
①△abc中，ac是bc邊上的高；②△bcd中，de是bc邊上的高
③△dbe中，de是be邊上的高；④△acd中，ad是cd邊上的高。
其中正確的為
強化提公升題：
1、判斷下列長度的三條線段能否組成三角形，並說明理由。（單位：cm）
k+1； k+2 2k+2 （k＞2）
2、若abc為三角形的三條邊長，化簡
3、已知三角形的三條邊長分別為3，x，9，化簡
4、如圖，ad是△abc的中線e是ad的中點，則圖中面積相等的三角形
共有對。
5、已知：如圖，在△abc，∠bac=80°，ad⊥bc於d，ae平分∠dac，∠b=60°，
求∠aec的度數
6、如圖（1）如圖（1），在△abc中，ob、oc分別是∠abc、∠acb的平分線．若∠a為x°， 則∠boc為多少？（2）如圖（2），bo、co為△abc兩外角∠dbc、∠bce的平分線，若∠a為x°，則∠boc為多少？（3）如圖（3），bo、co為△abc一內角∠abc與外角∠acd的平分線，若∠a為x°，則∠boc為多少？
八年級上冊第二章《特殊三角形》複習
一、知識結構
本章主要學習了等腰三角形的性質與判定、直角三角形的性質與判定以及勾股定理、hl定理等知識，這些知識點之間的結構如下圖所示：
二、重點回顧
1．等腰三角形的性質：
等腰三角形兩腰_______；等腰三角形兩底角______(即在同乙個三角形中，等邊對_____)；等腰三角形三線合一，這三線是指也就是說一條線段充當三種身份；等腰三角形是________圖形，它的對稱軸有_________條。
2．等腰三角形的判定：
有____邊相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同乙個三角形中，等角對_____）。
注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎？
3．等邊三角形的性質：
等邊三角形各條邊______，各內角_______，且都等於_____；等邊三角形是______圖形，它有____條對稱軸。
4．等邊三角形的判定：
有____邊相等的三角形是等邊三角形；有三個角都是______的三角形是等邊三角形；有兩個角都是______的三角形是等邊三角形；有乙個角是______的______ 三角形是等邊三角形。
5．直角三角形的性質：
直角三角形兩銳角_______；直角三角形斜邊上的中線等於_______；直角三角形兩直角邊的平方和等於________（即勾股定理）。
30°角所對的直角邊等於斜邊的________
6．直角三角形的判定：
有乙個角是______的三角形是直角三角形；有兩個角_______的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等於_______的三角形是直角三角形。
一條邊上的中線等於該邊長度的一半，那麼該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助於解題。
7．直角三角形全等的判定：
斜邊和對應相等的兩個直角三角形全等。
8．角平分線的性質：
在角內部到角兩邊在這個角的平分線上。
三、重點解讀
1．學習特殊三角形，應重點分清性質與判定的區別，兩者不能混淆。一般而言，根據邊角關係判斷乙個圖形形狀通常用的是判定，而根據圖形形狀得到邊角關係那就是性質；
2．等腰三角形的腰是在已知乙個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，後有腰，因此在判定乙個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是「有兩腰相等的三角形是等腰三角形」；
3．直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關係，而且它也是今後研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；
4．勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關係，解題時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母「」就認定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認為另一邊一定是5；
5．「hl」是僅適用於判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當然，以前學過的「sss」、「sas」、「asa」、「aas」等判定一般三角形全等的方法對於直角三角形全等的判定同樣有效。
切記!!! 兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時千萬不要這樣做。
本章解題時用到的主要數學思想方法：
⑴ 分類討論思想（特別是在語言模糊的等腰三角形中）（留意後面的例題）
⑵ 方程思想：主要用在摺疊之後產生直角三角形時，運用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長（留意後面的例題）
⑶ 等面積法
四、典型例題
（一）、角平分線+平行線
1、在△abc中，三內角互不相等，bo平分∠abc，co平分∠acb。過o點作ef, 使ef∥bc。（1）圖中有幾個等腰三角形？
（2）猜測線段be、cf、ef有什麼數量關係，並說明理由。
2、在△abc中，∠abc=∠acb，bo平分∠abc， co平分∠acb,過o點作ef，
使ef∥bc，且∠ebo=30°。若be=5，△abc的周長為
（二）、角平分線+垂線
3、如圖：ab=ac，∠1=∠2，ae⊥cd於f交bc於點e，求證：ab=ce。
4、如圖，△abc是等腰直角三角形，其中∠a=90°，bd平分∠abc交ac於點d，ce⊥bd交bd的延長線於點e，求證：bd=2ce
(三)、直角三角形的乙個銳角平分線+斜邊上的高線
5、如圖，在△abc中，∠acb=90°，ae平分∠cab，cd⊥ab於d，它們交於點f，△cfe是等腰三角形嗎？試說明理由.
（四）、等邊三角形的幾個基本圖形：
6、等邊三角形abc中，bd=ce，連線ad、be交於點f。∠afe
7、如圖點a、c、e在同一直線上，△abc和△cde都是等邊三角形，m、n分別是ad、be的中點。說明： △cmn是等邊三角形。
8、已知等邊△abc和點p，設點p到△abc三邊ab、ac、bc的距離分別是h1，h2，h3，△abc的高為h，若點p在一邊bc上（圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當點p在△abc內（圖2）和點p在△abc外（圖3）這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關係，請寫出你的猜想，並簡要說明理由．
（五）、等腰直角三角形的幾個基本應用
9、在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥m於e。
(1)當直線mn繞點c旋轉到圖1位置時，說明△adc≌△ceb的理由；
(2)當直線mn繞點c旋轉到圖2位置時，說明de=ad－be的理由；
(3)當直線mn繞點c旋轉到圖3位置時，試問de、 ad、be有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並說明理由.
10、如圖，在直角△abc中，∠c=90，ac=bc，d，e分別在bc和ac上，且bd=ce，m是ab的中點。求證：△mde是等腰直角三角形。
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初二上冊 特殊三角形 浙教版 初二數學教研組
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