人教版八年級上冊數學
知識點總結歸納
第十一章三角形
第12章全等三角形
第13章軸對稱
第14章整式乘法和因式分解
第15章分式
第十一章三角形
1、三角形的概念
由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
2、三角形中的主要線段
（1）三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連線乙個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形乙個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
3、三角形的穩定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都製成三角形的形狀。
4、三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
（1）三角形有三條線段
（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形
（3）首尾順次相接
三角形用符號「」表示，頂點是a、b、c的三角形記作「abc」，讀作「三角形abc」。
5、三角形的分類
三角形按邊的關係分類如下：
不等邊三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關係分類如下：
直角三角形（有乙個角為直角的三角形）
三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）
斜三角形
鈍角三角形（有乙個角為鈍角的三角形）
把邊和角聯絡在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
6、三角形的三邊關係定理及推論
（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。
（2）三角形三邊關係定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當已知兩邊時，可確定第三邊的範圍。
③證明線段不等關係。
7、三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。
推論：①直角三角形的兩個銳角互餘。
②三角形的乙個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。
③三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
注：在同乙個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積=×底×高
多邊形知識要點梳理
定義：由三條或三條以上的線段首位順次連線所組成的封閉圖形叫做多邊形。
凸多邊形
分類1凹多邊形
正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
分類2：
多邊形非正多邊形：
1、n邊形的內角和等於180°（n-2）。
多邊形的定理 2、任意凸形多邊形的外角和等於360°。
3、n邊形的對角線條數等於1/2·n（n-3）
只用一種正多邊形：3、4、6/。
鑲嵌拼成360度的角
只用一種非正多邊形（全等）：3、4。
知識點一：多邊形及有關概念
1、 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
（1）多邊形的一些要素：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．
頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．
內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，乙個n邊形有n個內角。
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
（2）在定義中應注意：
①一些線段（多邊形的邊數是大於等於3的正整數）；
②首尾順次相連，二者缺一不可;
③理解時要特別注意「在同一平面內」這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間
多邊形.
2、多邊形的分類:
(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這
條直線的同一側，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸
多邊形.
凸多邊形凹多邊形
圖1 (2)多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬於多邊形，其中三角
形是邊數最少的多邊形．
知識點二：正多邊形
各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。
正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形
要點詮釋：
各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形
知識點三：多邊形的對角線
多邊形的對角線：連線多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖2，bd為四邊形abcd的一條對角線。
要點詮釋：
(1)從n邊形乙個頂點可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形。
(2)n邊形共有條對角線。
證明：過乙個頂點有n－3條對角線(n≥3的正整數)，又∵共有n個頂點，∴共有n(n-3)
條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重複了一次，∴凸n邊形，共有條對角線。
知識點四：多邊形的內角和公式
1.公式：邊形的內角和為.
2.公式的證明：
證法1：在邊形內任取一點，並把這點與各個頂點連線起來，共構成個三角形，這個三角形的內角和為，再減去乙個周角，即得到邊形的內角和為.
證法2：從邊形乙個頂點作對角線，可以作條對角線，並且邊形被分成個三角形，這個三角形內角和恰好是邊形的內角和，等於.
證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內角和等於這個三角形的內角和減去所取的一點處的乙個平角的度數，
即.要點詮釋：
(1)注意：以上各推導方法體現出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。
(2)內角和定理的應用：
①已知多邊形的邊數，求其內角和；
②已知多邊形內角和，求其邊數。
知識點五：多邊形的外角和公式
1.公式：多邊形的外角和等於360°.
2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內角和加外角和為，外角和等於.注意：n邊形的外角和恆等於360°，它與邊數的多少無關。
要點詮釋：
(1)外角和公式的應用：
①已知外角度數，求正多邊形邊數；
②已知正多邊形邊數，求外角度數.
(2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關係：
①n邊形的內角和等於(n－2)·180°(n≥3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加
1條邊，內角和增加180°。
②多邊形的外角和等於360°，與邊數的多少無關。
知識點六：鑲嵌的概念和特徵
1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這裡的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。
2、實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等於360°；相鄰的多邊形有公共邊。
3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：
(1)用正多邊形實現鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在乙個頂點處各正多邊形的內角之和為360°。
(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面
對於給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成乙個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關鍵在於正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成乙個周角360°時，就能鋪成乙個平面圖形。
事實上，正n邊形的每乙個內角為，要求k個正n邊形各有乙個內角拼於一點，恰好覆蓋地面，這樣360°＝，由此匯出k＝＝2＋，而k是正整數，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。
注意：任意四邊形的內角和都等於360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。
(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面
用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形「交接處各角之和能否拼成乙個周角」的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：
又如，用乙個正三角形、兩個正方形、乙個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為乙個周角360°。
規律方法指導
1．內角和與邊數成正比：邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少. 每增加一條邊，內角的和
就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內角和必須是180°的整數倍.
2．多邊形外角和恆等於360°，與邊數的多少無關.
3．多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少
沒有鈍角.
4．在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節
問題的常用方法.
5．在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是
研究複雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數學中的應用.
經典例題透析
型別一：多邊形內角和及外角和定理應用
1．乙個多邊形的內角和等於它的外角和的5倍，它是幾邊形？
總結昇華：本題是多邊形的內角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設出邊數，根據條件列出關於的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.
舉一反三：
【變式1】若乙個多邊形的內角和與外角和的總度數為1800°，求這個多邊形的邊數.
【 【變式2】乙個多邊形除了乙個內角外，其餘各內角和為2750°，求這個多邊形的內角和是多少？
【答案】設這個多邊形的邊數為，這個內角為，
.【變式3】乙個多邊形的內角和與某乙個外角的度數總和為1350°，求這個多邊形的邊數。
型別二：多邊形對角線公式的運用
【變式1】乙個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數是（ ）.
a．6 b．7 c．8 d．9
【變式2】乙個十二邊形有幾條對角線。
總結昇華：對於乙個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規律條，牢記這個公式，以後只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。
型別三：可轉化為多邊形內角和問題
【變式1】如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
【變式2】如圖所示，求∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＋∠f的度數。
型別四：實際應用題
4．如圖，一輛小汽車從p市出發，先到b市，再到c市，再到a市，最後返回p市，這輛小汽車共轉了多少度角？
思路點撥：根據多邊形的外角和定理解決.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，小亮從a點出發前進10m，向右轉15°，再前進10m，又向右轉15°，…，這樣一直走下去，當他第一次回到出發點時，一共走了m.
【變式2】小華從點a出發向前走10公尺，向右轉36°，然後繼續向前走10公尺，再向右轉36°，他以同樣的方法繼續走下去，他能回到點a嗎？若能，當他走回點a時共走了多少公尺？若不能，寫出理由。
【變式3】如圖所示是某廠生產的一塊模板，已知該模板的邊ab∥cf，cd∥ae. 按規定ab、cd的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只需測乙個角，便知道ab、cd的延長線的夾角是否合乎規定，你知道需測哪乙個角嗎？
說明理由.
思路點撥：本題中將ab、cd延長後會得到乙個五邊形，根據五邊形內角和為540°，又由ab∥cf，cd∥ae，可知∠bae+∠aef+∠efc=360°，從540°中減去80°再減去360°，剩下∠c的度數為100°，所以只需測∠c的度數即可，同理還可直接測∠a的度數.
總結昇華：本題實際上是多邊形內角和的逆運算，關鍵在於正確新增輔助線.
型別五：鑲嵌問題
5．分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設計圖。
(1)正方形和正八邊形；
(2)正三角形和正十二邊形；
(3)正三角形、正方形和正六邊形。
思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內角的和能構成乙個周角，那麼這些多邊形就能作平面鑲嵌。
解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每乙個內角分別是60°、90°、120°、135°、150°。
(1)因為90＋2×135＝360，所以乙個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，如圖(1)所示。
(2)因為60＋2×150＝360，所以乙個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖(2)所示。
(3)因為60＋2×90＋120＝360，所以乙個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正方形，如圖(3)
所示。總結昇華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質上是相關正多邊形「交接處各角之和能否拼成乙個周角」的問題。舉一反三：
【變式1】分別用形狀、大小完全相同的①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木板；④正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )a、① b、② c、③ d、④
解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板，故
【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起並相交於一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數都是8，則第三塊木板的邊數應是( )
a、4 b、5 c、6 d、8
【答案】a （提示：先算出正八邊形乙個內角的度數，再乘以2，然後用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板乙個內角的度數，進而得到第三塊木板的邊數）
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第十一章三角形 一 知識框架 二 知識概念 1.三角形 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關係 三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊.3.高 從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.4.中線 在三角形中，連線乙...
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經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程 4 性質定理的逆定理 角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上 利用三角形全等來解釋 5 三角形的三條角平分線相交於一點，該點為內心 第12章軸對稱 12.1軸對稱 1 軸對稱圖形 如果乙個圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼就稱...
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人教版八年級上數學期末總複習知識要點 第十一章三角形 一 知識框架 二 知識概念 1.三角形 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關係 三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊.3.高 從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三...