第一章三角函式
週期現象與週期函式
週期函式定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數t；x必須是定義域內的任意值；
f(x＋t)＝f(x)。
練習:（1）已知函式f(x)對定義域內的任意x滿足：存在非零常數t，使得f(x＋t)＝f(x)恆成立。求：f(x＋2t) ，f(x＋3t)
解：f(x＋2t)＝f[(x＋t)＋t]＝f(x＋t)＝f(x)， f(x＋3t)＝f[(x＋2t)＋t]＝f(x＋2t)＝f(x)
(2)已知函式f(x)是r上的週期為5的週期函式，且f(1)＝2005,求f(11)
解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005
(3)已知函式f(x)是r上的奇函式，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)
解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2
角的概念的推廣
1、正角、負角、零角的概念
一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向(或順時針方向)旋轉到終止位置，就形成角.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。
規定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉，我們認為這時它也形成了乙個角，並把這個角叫做零角,如果是零角，那麼＝0°；鐘錶的時針和分針在旋轉時所形成的角總是負角。
過去我們研究了0°～360°（）範圍的角。如果我們將角=的終邊ob繼續按逆時針方向旋轉一周、兩周……而形成的角分別得到390°，750°……的角。
角的概念經過這樣的推廣以後就成為任意角，任意角包括正角、負角和零角．
2．象限角、座標軸上的角的概念．
由於角是乙個平面圖形，所以今後我們常在直角座標系內討論角，我們使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸(包括原點)重合，那麼角的終邊(除端點外)落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。如果角的終邊落在座標軸上，就認為這個角不屬於任一象限，這時稱這個角為象限界角或軸線角。例如、、、等等都是軸線角。
3．終邊相同的角的表示方法．
如果將終邊ob按逆時針方向旋轉一圈、兩圈……，分別得到390°，750°……的角，這些角的終邊與30°角的終邊相同，只是轉過的圈數不同，它們可以用30°角來表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°由此可以發現，上面旋轉所得到的所有的角(記為β)，都可以表示成乙個0°～360°的角與k(k∈z)個周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈z)．如果我們記集合s＝，容易看出：所有與30°角終邊相同的角，連同30°角(k＝0)在內，都是集合s的元素；反過來，集合s中的任何乙個元素顯然都與30°角的終邊相同。
一般的，我們有：
所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成乙個集合
即任意乙個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和。
鞏固深化，發展思維
例1.判斷下列各角是第幾象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12』．
例2．在直角座標系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（用0°～360°的角表示）.
例3．寫出與60°角終邊相同的角的集合s，並把s中適合不等式－360°≤β＜270°的元素β寫出來.
弧度制1．1弧度的角的定義．
我們把長度等於半徑長的弧所對的圓心角，叫做1弧度的角。弧ab的長等於半徑r，則弧ab所對的圓心角就是1弧度的角，弧度的單位記作rad。
2．弧度制的定義： 一般地，正角的弧度數是乙個正數，負角的弧度數是乙個負數，零角的弧度數是0；角的弧度數的絕對值||＝，其中l是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制．
3．角度制與弧度制的換算．
現在我們知道：1周角＝360°＝r，所以，360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57.30°＝57°18』。
說明：在進行角度與弧度的換算時，關鍵要抓住180°＝πrad這一關係式．
鞏固深化，發展思維
1．例題剖析：
例1．把45°化成弧度例2．把rad化成度。
例3．利用弧度制證明扇形面積公式s＝lr，其中l是扇形的弧長，r是圓的半徑。
2．課堂練習：
3．（1）填表
說明：一些特殊角的弧度數，大家要熟記，免得每次遇到都要去進行換算．
（2）用弧度制寫出終邊落在y軸上和x軸上的角集合。
練習1：
1、已知銳角終邊上一點（3，4），求角的正弦值。
2、已知是角終邊上一點，求的值。
3、已知角的終邊落在直線上，求的值。
練習21．下列角中終邊與330°相同的角是（ ）
a.30° b.-30° c.630° d.-630°
2．下列命題正確的是（ ）
a.終邊相同角一定相等 b.第一象限的角都是銳角
c.銳角都是第一象限的角 d.小於的角都是銳角
3．如果一扇形的弧長為，半徑等於，則扇形所對圓心角為（ ）
abc． d．
4.若是第四象限角，則180°+一定是（ ）
a.第一象限角 b. 第二象限角 c.第三象限角 d. 第四象限角
5．乙個半徑為的扇形，它的周長為，則這個扇形所含弓形的面積為（ ）
a． b． c． d．
6．若角的終邊落在第三或第四象限，則的終邊落在（ ）
a．第一或第三象限 b．第二或第四象限 c．第一或第四象限 d．第三或第四象限
二、填空題
7．若三角形的三個內角的比等於，則各內角的弧度數分別為 ．
8．將時鐘撥快了10分鐘，則時針轉了度，分針轉了弧度．
9．若角的終邊為第二象限的角平分線，則的集合為
10．已知是第二象限角，且則的範圍是
三、解答題
11. 在與範圍內，找出與下列各角終邊相同的角，並判斷它們是第幾象限角？
（1） （2） （3）
12．寫出角的終邊在下圖中陰影區域內角的集合（這括邊界）
123）
13．單位圓上兩個動點，同時從點出發，沿圓周運動，點按逆時針方向旋轉弧度／秒，點按順時針方向旋轉弧度／秒，試求它們出發後第三次相遇時的位置和各自走過的弧度．
14．如圖，圓上一點以逆時針方向作勻速圓周運動，已知點每分鐘轉過角（），經過2分鐘到達第三象限，經過14分鐘回到原來位置，求的大小．
15．在扇形中，，弧的長為，求此扇形內切圓的面積．
單位圓與正弦函式
在初中，我們學習了銳角的正弦函式值：如圖，在直角三角形中
sin＝，
如圖：sina＝，由於a是直角邊，c是斜邊，所sina∈(0，1)。
由於我們通常都是將角放到平面直角座標系中，我們來看看會發生什麼？
在直角座標系中，（如圖所示），設角（∈（0，））的終邊與半經為r的圓交於點p（a，b），則角的正弦值是：sin＝.根據相似三角形的知識可知，對於確定的角，都不會隨圓的半經的改變而改變。
為簡單起見，令r＝1(即為單位圓)，那麼sin＝b，也就是說，若角的終邊與單位圓相交於p，則點p的縱座標b就是角的正弦函式。
直角三角形顯然不能包含所有的角，那麼，我們可以仿照銳角正弦函式的定義．你認為該如何定義任意角的正弦函式?
一般地，在直角座標系中（如上圖），對任意角，它的終邊與單位圓交於點p（a，b），我們可以唯一確定點p（a，b）的縱座標b，所以p點的縱座標b是角的函式，稱為正弦函式，記作y＝sin (α∈r)。通常我們用x，y分別表示自變數與因變數，將正弦函式表示為y＝sinx.正弦函式值有時也叫正弦值.
終邊相同的角的正弦函式值相等，即sin(2kπ＋)＝sin (k∈z)，說明對於任意乙個角，每增加2π的整數倍，其正弦函式值不變。所以，正弦函式是隨角的變化而週期性變化的，正弦函式是週期函式，2kπ（k∈z，k≠0）為正弦函式的週期。
2π是正弦函式的正週期中最小的乙個，稱為最小正週期。一般地，對於週期函式f(x)，如果它所有的週期中存在乙個最小的正數，那麼這個最小的正數就叫作f(x)的最小正週期。
注意：有些週期函式沒有最小正週期。例如(c為常數)是週期函式，其週期tr（t≠0）沒有最小正週期。
例1．若點p(—3，y)是終邊上一點，且sin＝—，求y值．
例2．若角的頂點為座標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在函式y＝—3x (x≤0)
的影象上，則sin
1.4.2正弦函式y＝sinx的影象
1、正弦函式線mp
正弦函式的一種幾何表示．如右圖所示，
①mp是帶有方向的線段，這樣的線段叫有向線段．mp是從m→p，mp與y軸正向相同為正數，反之為負數。②依正弦定義，有sin＝mp＝y，我們把mp叫做的正弦線．
3、五點作圖法：由上圖我們不難發現，在函式y=sinx，x[0,2]的影象上，起著關鍵作用的有以下五個關鍵點： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)。
描出這五個點後，函式y=sinx，x[0,2]的影象的形狀就基本上確定了。因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然後用光滑曲線將它們連線起來，就得到這個函式的簡圖。我們稱這種畫正弦曲線的方法為「五點法」。
鞏固深化，發展思維
1．例題剖析
例1．用「五點法」畫出下列函式在區間[0，2π]上的簡圖。
（1）y＝－sinx2）y＝1＋sinx
解：（1）列表
描點得y＝－sinx 的影象：（略，見教材p22）
正弦函式誘導公式
1、（公式1）sin(360k+) = sin
2、對於任一0到360的角，有四種可能（其中為不大於90的非負角）
必修4知識點歸納
第一章 集合與函式概念 1.1.1 集合 1 把研究的物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素 確定性 互異性 無序性。2 只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3 常見集合 正整數集合 或，整數集合 有理數集合 實數集合 4 集合的表示方法 列舉法 描述法.1.1.2...
高中數學必修4知識點總結歸納
第一章三角函式 初等函式二 2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為...
數學必修五知識點總結歸納
二 數列 1 數列 按照一定順序排列著的一列數 2 數列的項 數列中的每乙個數 3 有窮數列 項數有限的數列 4 無窮數列 項數無限的數列 5 遞增數列 從第2項起，每一項都不小於它的前一項的數列 6 遞減數列 從第2項起，每一項都不大於它的前一項的數列 7 常數列 各項相等的數列 8 擺動數列 從...