3.3.2 簡單的線性規劃問題（學案）
【知識要點】
1．目標函式、約束條件、線性規劃、可行域、可行解、最優解等概念；
2．在約束條件下，求的最值；
3．線性規劃的簡單應用．
【學習要求】
1． 知道線性規劃的意義；
2． 能正確利用**法解決線性規劃問題；
3． 能用線性規劃問題解決簡單的實際問題．
【預習提綱】
（根據以下提綱，預習教材第87頁～第89頁）
1．在教材第87頁引例中，約束條件是 ，為什麼又叫線性約束條件？目標函式是 ，為什麼又叫線性目標函式？
稱為線性規劃問題；
叫做可行解叫做可行域；
叫做最優解．
【學習過程】
（一）分析引例，形成概念，規範解答
【引例】某工廠用a、b兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個a配件並耗時1 h，每生產一件乙產品使用4個b配件並耗時2 h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個a配件和12個b配件，按每天工作8 h計算，該廠所有可能的日生產安排是什麼？若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，採用哪種生產安排獲得的利潤最大？
(二)：模仿練習，強化方法，拓展題型
【練習1】營養學家指出，**良好的日常飲食應該至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白質，0.
06 kg的脂肪。1 kg食物a含有0.105 kg碳水化合物，0.
07 kg蛋白質，0.14 kg脂肪，花費28元；而1 kg食物b含有0.105 kg碳水化合物，0.
14 kg蛋白質，0.07 kg脂肪，花費21元。為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物a和食物b多少kg？
(三)**練習，增強互動，開闊視野
【ex2】如圖1所示，已知中的三頂點，
點在內部及邊界運動，請你**並討論以下問題：
①在_____處有最大值_______，在______處有最小值_______；
②在_____處有最大值_______，在______處有最小值_______；
③取最大值時的最優解有_______個？
④ （思考題）若目標函式是，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得和？如果是或呢？
(四)：小結與作業
1、**法求解線性規劃應用問題的基本步驟：
1：建立數學模型（設變數，建立線性約束條件及線性目標函式）
2：圖形工具（作出可行域及作目標函式過原點的直線）
3：平移求解（確定的平移方向，依據可行域找出取得最優解的點）
4：確定最值（解相關方程組，求出最優解，代入目標函式求最值）
2、回顧引例和練習中展現的兩類線性規劃應用問題，滲透數學建模的思想。
【典型例題】
例1 已知滿足不等式組，試求的最大值時點的座標，及相應的的最大值
變式訓練：已知滿足約束條件求目標函式的最大值，並求整點最優解．
例2 營養學家指出，**良好的日常飲食應該至少提供的碳水化合物，的蛋白質，的脂肪，食物含有碳水化合物，蛋白質，脂肪，花費28元；而食物含有碳水化合物，蛋白質，脂肪，花費21元．為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物和食物多少？
變式訓練：某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產甲產品1噸，需要煤9噸，需電4瓦，工作日3個（乙個2人勞動一天等於乙個工作日），生產乙種產品1噸，需要用煤4噸，需電5瓦，工作日12個，又知甲產品每噸售價7萬元，乙產品每噸售價12萬元，且每天供煤最多360噸，供電最多200瓦，全員勞動人數最多300人，問每天安排生產兩種產品各多少噸；才能使日產值最大，最大產值是多少？
1．已知滿足約束條件則的最大值為（ ）．
２．若則目標函式的取值範圍是（ ）．
３．給出平面區域如圖所示，若使目標函式取得最大值的最優解有無窮多個，則的值為（ ）．
４．滿足的整點（橫、縱座標為整數）的個數是（ ）
５．給出下面的線性規劃問題：求的最大值和最小值，使，滿足約束條件要使題目中目標函式只有最小值而無最大值，請你改造約束條件中乙個不等式，那麼新的約束條件是
６．中，三個頂點的座標分別為，，，點在內部及邊界運動，則的最大值及最小值分別是和 ．
７.已知滿足不等式,求的最小值
８.某工廠家具車間造型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？
１.（2009寧夏海南卷理）設滿足（ ）．
（a）有最小值2，最大值3 （b）有最小值2，無最大值
（c）有最大值3，無最小值 （d）既無最小值，也無最大值
２．（2009北京卷理）若實數滿足則的最小值為 ．
必修5 3.3.2 簡單的線性規劃問題（教案）
（第1課時）
【教學目標】
1．知識與技能：使學生了解線性規劃的意義及約束條件、目標函式、可行解、可行域、最優解等基本概念；了解線性規劃問題的**法，並能應用它解決一些簡單的實際問題；
2．過程與方法：經歷從實際情境中抽象出簡單的線性規劃問題的過程，提高數學建模能力；
3．情態與價值：培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生「建模」和解決實際問題的能力．
【重點】
用**法解決簡單的線性規劃問題．
【難點】
準確求得線性規劃問題的最優解．
【預習提綱】
（根據以下提綱，預習教材第87頁～第89頁）
1．在教材第87頁引例中，約束條件是為什麼又叫線性約束條件？（約束條件都是關於的一次不等式）目標函式是，為什麼又叫線性目標函式？（目標函式是關於的一次解析式）
２．**性約束條件下求線性目標函式的最大值或最小值問題稱為線性規劃問題；
３．滿足線性約束條件的解叫做可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標函式取得最大值或最小值的可行解叫做最優解．
【基礎練習】
1．給定下列命題：**性規劃問題中，①最優解指的是目標函式的最大值或最小值；②最優解指的是使目標函式取得最大值或最小值的變數；③最優解指的是目標函式取得最大值或最小值的可行域；④最優解指的是使目標函式取得最大值或最小值的可行解．其中真命題的序號是 ④ ．
２．在教材第87頁引例中，當直線經過可行域時，直線越向上 （上，下）越大，直線越向下 （上，下）越小，為什麼？（由的幾何意義決定的）的幾何意義是是直線在軸上的截距．
３.解下列線性規劃問題：
（１）求的最大值，使滿足約束條件
（２）求的最大值和最小值，使滿足約束條件
答案【典型例題】
例1 已知滿足不等式組，試求的最大值時點的座標，及相應的的最大值
【審題要津】先畫出平面區域，然後在平面區域內尋找使取最大值時的點並求最大值
解：如圖所示平面區域，點，點，點的座標由方程組
得（），
由， 得=-,
欲求的最大值，即轉化為求截距的最大值，從而可求的最大值，因直線=-與直線=-平行，故作與=-的平行線，當過點（0，125）時，對應直線的截距最大，所以此時整點使取最大值， =300×0+900×125=112500 ．
【方法總結】１.**性約束條件下，求的最值時，作圖需準確，要區別目標函式所對應直線的斜率與可行域的邊界直線的斜率的大小關係，分清目標函式所對應直線在軸上的截距與的關係．
２.用**法求最優解的步驟可概括為「畫、移、求、答」．
變式訓練：
已知滿足約束條件求目標函式的最大值，並求整點最優解．
解：可行域如圖所示：
四邊形易求點（0，126），（100，0）由方程組：
得點的座標為（69,91)
因題設條件要求整點使取最大值，將點（69，91），（70，90）代入，可知當時，取最大值為=600×70+300×900=69000，
最優解為．
例2 營養學家指出，**良好的日常飲食應該至少提供的碳水化合物，的蛋白質，的脂肪，食物含有碳水化合物，蛋白質，脂肪，花費28元；而食物含有碳水化合物，蛋白質，脂肪，花費21元．為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物和食物多少？
【審題要津】先將已知資料列成下表，使題意直觀化．
解：設每天食用千克食物，千克食物，總成本為．那麼
①目標函式為 ．
二元一次不等式組①等價於
②作出二元一次不等式組②所表示的平面區域，即可行域．
考慮，將它變形為
隨變化的一族平行直線．是直線在軸上的截距，當取最小值時，的值最小．當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函式取得最小值．
由圖可見，當直線經過可行域上的點時，截距最小，即最小．解方程組
得點的座標為
所以．答：每天食用食物約，食物約，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為１６元．
【方法總結】線性規劃解決實際問題的解題思路：首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函式．然後，用**法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函式取得最值的解，最後，要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解．
變式訓練：某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產甲產品1噸，需要煤9噸，需電4瓦，工作日3個（乙個2人勞動一天等於乙個工作日），生產乙種產品1噸，需要用煤4噸，需電5瓦，工作日12個，又知甲產品每噸售價7萬元，乙產品每噸售價12萬元，且每天供煤最多360噸，供電最多200瓦，全員勞動人數最多300人，問每天安排生產兩種產品各多少噸；才能使日產值最大，最大產值是多少？
解：設每天生產甲種產品x噸，乙種產品y噸，日產值為萬元。則約束條件為：
線性目標函式為=.
高中數學新人教A版必修5教案3 3 2簡單線性規劃問題
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高中數學 3.3.2 簡單的線性規劃教案2 新人教a版必修5 教學目標 1 知識與技能 掌握線性規劃問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 2 過程與方法 經歷從實際情境中抽象出簡單的線性規劃問題的過程，提高數學建模能力 3 情態與價值 引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事...
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