第一章集合與函式概念
一、集合
（一）集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。
2、集合中元素的三個特性：1)元素的確定性； 2)元素的互異性； 3)元素的無序性
3、元素與集合的關係
a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a ，相反，a不屬於集合a 記作 aa
4、常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）n 正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
5、集合的表示：
1）列舉法：例， 注意一定要加「｛ ｝」
2）描述法： 例，注意1）加「｛ ｝」，2）加小豎線「｜」
3）venn圖法：通常用平面上封閉曲線的內部表示集合，這種圖叫做venn圖。
6、集合的分類：有限集、無限集、空集
（二）集合間的基本關係
1、包含關係：
若任意，都有，則a是b的子集，記作
若，且存在且，則a是b的真子集，記作ab
結論：（1）任何乙個集合都是它本身的子集，即
（2）對於集合a，b，c，如果，且，則（子集關係的傳遞性）
（3）ab ab或a=b
（4）空集是任意集合的子集，且空集是任意非空集合的真子集。
（5）若集合a中含有n個元素,則集合a有2n個子集，（2n-1）個真子集。
2、「相等」關係：
若，且，則a＝b
（三）集合的運算
1、並集
1）定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a與b的並集，記作：a∪b(讀作＂a並b＂)，即a∪b=。
2）性質：a∪b=b∪a；a (a∪b)；b (a∪b)；a∪a=a；a∪=a；aba∪b=b。
2、交集
1）定義：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a與b的交集，記作a∩b(讀作＂a交b＂)，即a∩b=。
2）性質：a∩b=b∩a；(a∩b) a；(a∩b) b；a∩a=a；a∩=；aba∩b=a。
3、補集
1）全集：一般地,如果乙個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集，通常記為u。
2）補集：對於乙個集合a，由全集u中不屬於集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對於全集u的補集，記作a，即a＝｛x|x∈u，且xa｝
3）性質：（1）∪＝，＝u（2）（a）＝ a
（3）a∪(a)＝u a∩(a)＝
（4）(a∩b)=(a)∪(b);(a∪b)=(a)∩(b)
注意：在求集合交集、並集和補集的運算當中，最好借助數軸輔助運算。
強化訓練：
1，集合a含有10個元素，集合b含有8個元素，集合a∩b有8個子集，則集合a∪b的元素個數為
2，設集合，，且，則滿足條件的實數x
3，定義a－b=, 若a=，b=，則a－（a－b）等於
4，集合p=，q=，則a∩b=
5，已知u=則集合a
6，設集合，則.
7，已知集合a=
1）若a是空集，求a的取值範圍；2）若a中只有乙個元素，求a的值，並把這個元素寫出來；3）若a中至多只有乙個元素，求a的取值範圍
二、函式及其表示
（一）函式的概念
1、函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
2、函式的三要素：定義域，值域，解析式
3、如果兩個函式的定義域，值域，解析式相同，則這兩個函式是同乙個函式。
（二）函式的表示法
1、函式的表示法：解析法、圖象法和列表法
2、分段函式：在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
注意：1）分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，只能寫成幾個不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況；
2）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式。
（三）求函式的定義域、值域及解析式
1、求函式定義域的方法：
1）若函式的解析式已知，則使解析式有意義的自變數的取值範圍即為定義域；
2）若函式解析式中含有多個代數式，則使各個代數式有意義的自變數的取值範圍的交集即為定義域；
3）分段函式的定義域為各段的自變數的取值範圍的並集；
4）若函式的解析式未知（即抽象函式），則求定義域時要記住兩句話：
①無論復合函式還是簡單函式，定義域指的是的取值範圍；
②相同的對應關係後括號裡的式子取值範圍相同。
例，已知函式的定義域為，求函式的定義域。
解： 的定義域為，∴，，
∴在中，，∴，
∴函式的定義域為。
5）若函式表示實際應用問題，則自變數的取值還應使之符合實際意義。
2、求函式值域的方法
1） 具體函式的值域的求法只要結合定義域和解析式來求出函式值的取值範圍即可。
例，求下列函式的值域
（1） （2） （3）
（4） （5）
（1）（拆分法）：將拆成，則由可得
結論：形如的函式的值域為
（2）（拆分法）：將拆成，由來求的範圍即可。
（不等式法）將用表示出來，由得到關於的不等式，再解之即可。
（3）（判別式法）：將看成乙個係數，去分母後化為乙個關於的一元二次方程，因為方程恒有解，所以判別式，即得到乙個關於的一元二次不等式，解之即可。
（4）（數形結合法）作出二次函式的圖象，根據對稱軸與區間的位置關係判斷函式在所給區間的單調性，再來求出函式的值域。
（5）（換元法）令，則，原式可化為，求此關於的二次函式的值域即可。 （注意：換元法要注意新元的取值範圍）
2）分段函式的值域為各段函式值的取值範圍的並集；
3）抽象函式的值域
相同的對應法則下，只要括號裡的式子取值範圍沒有改變，其值域相同。
例，若函式的值域為，則函式的值域也為。
3、函式解析式的求法
例1）已知，求
解：（換元法）令，則，
注意：換元法要注意新元的取值範圍。
2）已知，求
解：（消元法）∵①，∴②，聯絡①、②，可以消去，得到
3）已知二次函式的圖象與y軸交於點，且，求
解：（待定係數法）設，再利用已知條件構造方程組解出
（四）函式圖象的畫法
1）描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來。
2）圖象變換法：畫出基本函式的圖象，將之進行變換得到所要畫的圖象
①平移變換：「左加(+)右減(-),上加(+)下減(-)」.
(1)將函式的圖象向左平移a(a>0)個單位得函式的圖象；
(2)將函式的圖象向右平移a(a>0)個單位得函式的圖象；
(3)將函式的圖象向上平移b(b>0)個單位得函式的圖象；
(4)將函式的圖象向下平移b(b>0)個單位得函式的圖象。
②對稱變換：
(1)函式與函式的圖象關於直線x=0即y軸對稱；
(2)函式與函式的圖象關於直線x=0即x軸對稱；
(3)函式與函式的圖象關於原點對稱。
③翻摺變換：
(1)函式的圖象可以將函式的圖象位於x軸下方部分沿x軸翻摺到x軸上方,去掉原x軸下方部分,並保留的x軸上方部分即可得到。
(2)。
（五）對映
對映：一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應為從集合a到集合b的乙個對映。集合b中的元素y叫做集合a中元素x的象，元素x叫做元素y的原象。
注意：1）對映是一種特殊的對應，而函式是是一種特殊的對映，它是非空數集到非空數集的對映。2）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有唯一的象；集合b中的每乙個元素在集合a中不一定都有原象。
3）集合a中元素與集合b中元素的對應，可以是多對一，或一對一，不能是一對多。
（六）復合函式
函式可視為函式和函式復合而成的函式，函式稱作復合函式的外層函式，函式稱作復合函式的內層函式。
注意：1）復合函式的自變數是x，函式值是y，對應關係是；
2）內層函式的自變數是復合函式的自變數，外層函式的函式值是復合函式的函式值；
3）求復合函式的函式，一般是先求內層函式的函式值，再將其做為外層函式的自變數求外層函式的函式值。（先內後外）
補充：解一元二次不等式的一般步驟：
1）判斷二次項係數的符號，如，則將其變成的形式；
2）解一元二次方程，求出方程的根；
3）寫出不等式的解集
強化訓練：
1，若函式，則
2，函式 ，則 ；則x=
3，函式的定義域是
4，已知函式f（x）=的定義域是r，則實數a的取值範圍是
5，已知，則
6，已知函式的定義域是，則函式的定義域是
7，已知，且，則
8，函式的圖象沿軸向左平移1個單位，再以軸為對稱軸將圖象向右翻轉得到的圖象，則
9，求下列函式的值域
（12）
（3） （4）
三、函式的基本性質
（一）函式的單調性
1、增、減函式的定義
增函式：設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數，，當時，都有，那麼就說f(x)在區間d上是增函式。區間d稱為y=f(x)的單調增區間。
減函式：如果對於區間d上的任意兩個自變數的值，，當時，都有，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式。區間d稱為y=f(x)的單調減區間。
注意：① 函式的單調性一定是在定義域內進行研究，單調區間一定是定義域的子區間；
②說明函式單調性時一定要註明單調區間。
2、圖象的特點
在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的。
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