彈簧類問題(一)
——常見彈簧類問題分析
輕彈簧是一種理想化的物理模型,以輕質彈簧為載體,設定複雜的物理情景,考查力的概念,物體的平衡,牛頓定律的應用及能的轉化與守恆,是高考命題的重點,此類命題幾乎每年高考捲麵均有所見.應引起足夠重視.
彈簧類命題突破要點
1.彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當題目中出現彈簧時,要注意彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應.
在題目中一般應從彈簧的形變分析入手,先確定彈簧原長位置,現長位置,找出形變數x與物體空間位置變化的幾何關係,分析形變所對應的彈力大小、方向,以此來分析計算物體運動狀態的可能變化.
2.因彈簧(尤其是軟質彈簧)其形變發生改變過程需要一段時間,在瞬間內形變數可以認為不變.因此,在分析瞬時變化時,可以認為彈力大小不變,即彈簧的彈力不突變.
3.在求彈簧的彈力做功時,因該變力為線性變化,可以先求平均力,再用功的定義進行計算,也可據動能定理和功能關係:能量轉化和守恆定律求解.
同時要注意彈力做功的特點:wk=-(kx22-kx12),彈力的功等於彈性勢能增量的負值.彈性勢能的公式ep=kx2,高考不作定量要求,可作定性討論.
因此,在求彈力的功或彈性勢能的改變時,一般以能量的轉化與守恆的角度來求解.
下面就按平衡、動力學、能量、振動、應用類等中常見的彈簧問題進行分析。
一、與物體平衡相關的彈簧問題
1.(2023年,全國)如圖示,兩木塊的質量分別為m1和m2,兩輕質彈簧的勁度係數分別為k1和k2,上面木塊壓在上面的彈簧上(但不拴接),整個系統處於平衡狀態.現緩慢向上提上面的木塊,直到它剛離開上面彈簧.在這過程中下面木塊移動的距離為( )
a.m1g/k1 b.m2g/k2 c.m1g/k2 d.m2g/k2
此題是共點力的平衡條件與胡克定律的綜合題.題中空間距離的變化,要通過彈簧形變數的計算求出.注意緩慢上提,說明整個系統處於一動態平衡過程,直至m1離開上面的彈簧.開始時,下面的彈簧被壓縮,比原長短(m1 + m2)g/k2,而ml剛離開上面的彈簧,下面的彈簧仍被壓縮,比原長短m2g/k2,因而m2移動△x=(m1 + m2)·g/k2 - m2g/k2=mlg/k2.
此題若求ml移動的距離又當如何求解?
參***:c
2.s1和s2表示勁度係數分別為k1,和k2兩根輕質彈簧,k1>k2;a和b表示質量分別為ma和mb的兩個小物塊,ma>mb,將彈簧與物塊按圖示方式懸掛起來.現要求兩根彈簧的總長度最大則應使( ).
a.s1在上,a在上
b.s1在上,b在上
c.s2在上,a在上
d.s2在上,b在上
參***:d
3.一根大彈簧內套一根小彈簧,大彈簧比小彈簧長0.2m,它們的一端固定,另一端自由,如圖所示,求這兩根彈簧的勁度係數k1(大彈簧)和k2(小彈簧)分別為多少?
(參***k1=100n/m k2=200n/m)
4.(2023年上海高考)如圖所示,一質量為m的物體系於長度分別為l1、l2的兩根細線上,l1的一端懸掛在天花板上,與豎直方向夾角為θ,l2水平拉直,物體處於平衡狀態.現將l2線剪斷,求剪斷瞬時物體的加速度.
(1)下面是某同學對該題的一種解法:
解設l1線上拉力為tl,l2線上拉力為t2,重力為mg,物體在三力作用下保持平衡
tlcosθ=mg,tlsinθ=t2,t2=mgtanθ,
剪斷線的瞬間,t2突然消失,物體即在t2反方向獲得加速度.
因為mgtanθ=ma,所以加速度a=g tanθ,方向在t2反方向.你認為這個結果正確嗎?清對該解法作出評價並說明理由.
解答:錯.因為l2被剪斷的瞬間,l1上的張力大小發生了變化.此瞬間
t2=mgcosθ, a=gsinθ
(2)若將圖中的細線ll改為長度相同、質量不計的輕彈簧,其他條件不變,求解的步驟和結果與(1)完全相同,即a=gtanθ,你認為這個結果正確嗎?請說明理由.
解答:對,因為l2被剪斷的瞬間,彈簧l1的長度未及發生變化,t1大小和方向都不變.
二、與動力學相關的彈簧問題
5.如圖所示,在重力場中,將乙隻輕質彈簧的上端懸掛在天花板上,下端連線乙個質量為m的木板,木板下面再掛乙個質量為m的物體.當剪掉m後發現:當木板的速率再次為零時,彈簧恰好能恢復到原長,(不考慮剪斷後m、m間的相互作用)則m與m之間的關係必定為
a.m>m b.m=m c.m參***:b
6.如圖所示,輕質彈簧上面固定一塊質量不計的薄板,在薄板上放重物,用手將重物向下壓縮到一定程度後,突然將手撤去,則重物將被彈簧彈射出去,則在彈射過程中(重物與彈簧脫離之前)重物的運動情況是參***:c
a.一直加速運動b.勻加速運動
c.先加速運動後減速運動 d.先減速運動後加速運動
[解析] 物體的運動狀態的改變取決於所受合外力.所以,對物體進行準確的受力分析是解決此題的關鍵,物體在整個運動過程中受到重力和彈簧彈力的作用.剛放手時,彈力大於重力,合力向上,物體向上加速運動,但隨著物體上移,彈簧形變數變小,彈力隨之變小,合力減小,加速度減小;當彈力減至與重力相等的瞬間,合力為零,加速度為零,此時物體的速度最大;此後,彈力繼續減小,物體受到的合力向下,物體做減速運動,當彈簧恢復原長時,二者分離.
7.如圖所示,一輕質彈簧豎直放在水平地面上,小球a由彈簧正上方某高度自由落下,與彈簧接觸後,開始壓縮彈簧,設此過程中彈簧始終服從胡克定律,那麼在小球壓縮彈簧的過程中,以下說法中正確的是參***:c
a.小球加速度方向始終向上
b.小球加速度方向始終向下
c.小球加速度方向先向下後向上
d.小球加速度方向先向上後向下
(試分析小球在最低點的加速度與重力加速度的大小關係)
8.如圖所示,一輕質彈簧一端繫在牆上的o點,自由伸長到b點.今用一小物體m把彈簧壓縮到a點,然後釋放,小物體能運動到c點靜止,物體與水平地面間的動摩擦因數恆定,試判斷下列說法正確的是 ( )
a.物體從a到b速度越來越大,從b到c
速度越來越小
b.物體從a到b速度越來越小,從b到c
加速度不變
c.物體從a到b先加速後減速,從b一直減速運動
d.物體在b點受到的合外力為零
參***:c
9.如圖所示,一輕質彈簧一端與牆相連,另一端與一物體接觸,當彈簧在o點位置時彈簧沒有形變,現用力將物體壓縮至a點,然後放手。物體向右運動至c點而靜止,ac距離為l。
第二次將物體與彈簧相連,仍將它壓縮至a點,則第二次物體在停止運動前經過的總路程s可能為:
a.s=l b.s>l
c.s參***:ac
(建議從能量的角度、物塊運動的情況考慮)
10. a、b兩木塊疊放在豎直輕彈簧上,如圖所示,已知木塊a、b質量分別為0.42 kg和0.
40 kg,彈簧的勁度係數k=100 n/m ,若在木塊a上作用乙個豎直向上的力f,使a由靜止開始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運動(g=10 m/s2).
(1)使木塊a豎直做勻加速運動的過程中,力f的最大值;
(2)若木塊由靜止開始做勻加速運動,直到a、b分離的過
程中,彈簧的彈性勢能減少了0.248 j,求這一過程f對
木塊做的功.
分析:此題難點和失分點在於能否通過對此物理過程的分析後,確定兩物體分離的臨界點,即當彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力 n =0時 ,恰好分離.
解:當f=0(即不加豎直向上f力時),設a、b疊放在彈簧上處於平衡時彈簧的壓縮量為x,有
kx=(ma+mb)g
x=(ma+mb)g/k
對a施加f力,分析a、b受力如圖
對a f+n-mag=maa
對b kx′-n-mbg=mba
可知,當n≠0時,ab有共同加速度a=a′,由②式知慾使a勻加速運動,隨n減小f增大.當n=0時,f取得了最大值fm,
即fm=ma(g+a)=4.41 n
又當n=0時,a、b開始分離,由③式知,
此時,彈簧壓縮量kx′=mb(a+g)
x′=mb(a+g)/k
ab共同速度 v2=2a(x-x
由題知,此過程彈性勢能減少了wp=ep=0.248 j
設f力功wf,對這一過程應用動能定理或功能原理
wf+ep-(ma+mb)g(x-x′)=(ma+mb)v2 ⑥
聯立①④⑤⑥,且注意到ep=0.248 j
可知,wf=9.64×10-2 j
三、與能量相關的彈簧問題
11.(全國.1997)質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連線,彈簧下端固定在地上.
平衡時彈簧的壓縮量為x0,如圖所示.一物塊從鋼板正上方距離為3x0的a處自由落下,打在鋼板上並立刻與鋼板一起向下運動,但不粘連.它們到達最低點後又向上運動.
已知物塊質量為m時,它們恰能回到o點.若物塊質量為2m,仍從a處自由落下,則物塊與鋼板回到o點時,還具有向上的速度.求物塊向上運動到達的最高點與o點的距離.
分析:本題的解題關鍵是要求對物理過程做出仔細分析,且在每一過程中運用動量守恆定律,機械能守恆定律解決實際問題,本題的難點是對彈性勢能的理解,並不要求寫出彈性勢能的具體表示式,可用ep表示,但要求理解彈性勢能的大小與伸長有關,彈簧伸長為零時,彈性勢能為零,彈簧的伸長不變時,彈性勢能不變.答案:
12.如圖所示,a、b、c三物塊質量均為m,置於光滑水平臺面上.b、c間夾有原已完全壓緊不能再壓縮的彈簧,兩物塊用細繩相連,使彈簧不能伸展.
物塊a以初速度v0沿b、c連線方向向b運動,相碰後,a與b、c粘合在一起,然後連線b、c的細繩因受擾動而突然斷開,彈簧伸展,從而使c與a、b分離,脫離彈簧後c的速度為v0.
(1)求彈簧所釋放的勢能δe.
(2)若更換b、c間的彈簧,當物塊a以初速v向b運動,物塊c在脫離彈簧後的速度為2v0,則彈簧所釋放的勢能δe′是多少?
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