碰撞類問題 （三）
——彈性碰撞模型及應用
彈性碰撞問題及其變形在是中學物理中常見問題，在高中物理中占有重要位置，也是多年來高考的熱點。彈性碰撞模型能與很多知識點綜合，聯絡廣泛，題目背景易推陳出新，掌握這一模型，舉一反三，可輕鬆解決這一類題，切實提高學生推理能力和分析解決問題能力。所以我們有必要研究這一模型。
(一) 彈性碰撞模型
彈性碰撞是碰撞過程無機械能損失的碰撞，遵循的規律是動量守恆和系統機械能守恆。確切的說是碰撞前後動量守恆，動能不變。在題目中常見的彈性球、光滑的鋼球及分子、原子等微觀粒子的碰撞都是彈性碰撞。
已知a、b兩個鋼性小球質量分別是m1、m2，小球b靜止在光滑水平面上，a以初速度v0與小球b發生彈性碰撞，求碰撞後小球a的速度v1，物體b的速度v2大小和方向
解析：取小球a初速度v0的方向為正方向，因發生的是彈性碰撞，碰撞前後動量守恆、動能不變有：
m1v0= m1v1+ m2v2 ①
②由①②兩式得： ，
結論：（1）當m1=m2時，v1=0，v2=v0，顯然碰撞後a靜止，b以a的初速度運動，兩球速度交換，並且a的動能完全傳遞給b，因此m1=m2也是動能傳遞最大的條件；
（2）當m1＞m2時，v1＞0，即a、b同方向運動，因 ＜，所以速度大小v1＜v2，即兩球不會發生第二次碰撞；
若m1>>m2時，v1= v0，v2=2v0 即當質量很大的物體a碰撞質量很小的物體b時，物體a的速度幾乎不變，物體b以2倍於物體a的速度向前運動。
（3）當m1＜m2時，則v1＜0，即物體a反向運動。
當m1<以上彈性碰撞以動撞靜的情景可以簡單概括為：（質量）等大小，（速度和動能）交換了；小撞大，被彈回；大撞小，同向跑。
（二）應用舉例
[例1]如圖2所示，兩單擺的擺長不同，已知b的擺長是a擺長的4倍,a的週期為t,平衡時兩鋼球剛好接觸，現將擺球a在兩擺線所在的平面向左拉開一小角度釋放，兩球發生彈性碰撞,碰撞後兩球分開各自做簡諧運動，以ma，mb分別表示兩擺球a，b的質量，則下列說法正確的是；
a．如果ma=mb 經時間t發生下次碰撞且發生在平衡位置
b．如果ma>mb 經時間t發生下次碰撞且發生在平衡位置
c．如果ma>mb 經時間t/2發生下次碰撞且發生在平衡位置右側
d．如果ma[解析] 當ma=mb時，a、b球在平衡位置發生彈性碰撞，速度互換，a球靜止，由於b擺長是a擺長的4倍,由單擺週期公式可知,a週期是t，b的週期是2t，當b球反向擺回到平衡位置經時間為t，再次發生碰撞。故a選項正確。當ma＞mb時，發生第一次碰撞後兩球同向右擺動，但a球的速度小於b球的速度，並有a的週期是b週期的一半，t/2時b到達右側最大位移處,此時a向左回到平衡位置,a繼續向左;再經t/2, b完成半個全振動向右,a恰好完成一次全振動向左同時回到平衡位置發生碰撞，故b選項正確，c選項錯誤；當ma[例2] 質量為 m的小車靜止於光滑的水平面上，小車的上表面和圓弧的軌道均光滑，如圖3如圖所示，乙個質量為m的小球以速度v0水平衝向小車，當小球返回左端脫離小車時，下列說法正確的是：
a．小球一定沿水平方向向左做平作拋運動
b．小球可能沿水平方向向左作平拋運動
c．小球可能沿水平方向向右作平拋運動
d．小球可能做自由落體運動
[解析]：小球水平衝上小車，又返回左端，到離開小車的整個過程中，系統動量守恆、機械能守恆，相當於小球與小車發生彈性碰撞的過程，如果m＜m，小球離開小車向左平拋運動，m=m，小球離開小車做自由落體運動，如果m＞m，小球離開小車向右做平拋運動，所以答案應選b，c，d
[例3]在光滑水平面上有相隔一定距離的a、b兩球，質量相等，假定它們之間存在恆定的斥力作用，原來兩球被按住，處在靜止狀態。現突然鬆開兩球，同時給a球以速度v0，使之沿兩球連線射向b球，b球初速度為零；若兩球間的距離從最小值（兩球未接觸）到剛恢復到原始值所經歷的時間為t0，求：b球在斥力作用下的加速度
[解析]：a球射向b球過程中，a球一直作勻減速直線運動，b球由靜止開始一直作勻加速直線運動，當兩球速度相等時相距最近，當恢復到原始值時相當於發生了一次彈性碰撞，，由於a、b質量相等，a、b發生了速度交換，系統動量守恆、機械能守恆。
設a、b速度相等時速度為v，恢復到原始值時a、b的速度分別為v1、v2，
mv0= 2mv
2mv=mv1+ mv2
③由①式得v=，由②③解得v1=0，v2= v0 （另一組解v1= v0，v2= 0捨去）
則b的加速度a==
[例4] 如圖4所示,光滑水平地面上靜止放置兩由彈簧相連木塊a和b,一質量為m子彈,以速度v0,水平擊中木塊a,並留在其中,a的質量為3m,b的質量為4m.
(1)求彈簧第一次最短時的彈性勢能
(2)何時b的速度最大，最大速度是多少？
[解析](1)從子彈擊中木塊a到彈簧第一次達到最短的過程可分為兩個小過程一是子彈與木塊a的碰撞過程，動量守恆，有機械能損失；二是子彈與木塊a組成的整體與木塊b通過彈簧相互作用的過程，動量守恆，系統機械能守恆，
子彈打入mv0=4mv1 ①
打入後彈簧由原長到最短: 4mv1=8mv2 ②
機械能守恆
解①②③得
(2)從彈簧原長到壓縮最短再恢復原長的過程中，木塊b一直作變加速運動,木塊a一直作變減速運動,相當於彈性碰撞，因質量相等，子彈和a組成的整體與b木塊交換速度,此時b的速度最大,設彈簧彈開時a、b的速度分別為
4mv1=4mv1』 +4mv2
解得: v1』=o ,v2』=v1
可見,兩物體通過彈簧相互作用,與彈性碰撞相似。
彈性碰撞模型的應用不僅僅侷限於「碰撞」，我們應廣義地理解 「碰撞」模型。這一模型的關鍵是抓住系統「碰撞」前後動量守恆、系統機械能守恆（動能不變），具備了這一特徵的物理過程，可理解為「彈性碰撞」。我們對物理過程和遵循的規律就有了較為清楚的認識，問題就會迎刃而解。
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