2015春季集訓入營測試題（數三）
本試卷滿分150分，考試時間180分鐘
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.
1. 設函式有二階連續導數，且，，則( )
在點處取極大值
在點處取極小值
點是曲線的拐點
點不是的極值點，點也不是的拐點
【答案】：b．
【解析】：由，，得，而由連續知連續，所以.
於是，所以是的駐點.
又由，，
得，即，
所以在點處有，，
故點是的極小值.應選（b).
2．設函式在全平面上都有，.則下列條件中能保證的是( )
【答案】：c．
【解析】：由，當固定時，對單調下降，故對時，有
；又由，，當固定時，對單調上公升，故對時，有
；因此，當時，有.應選(c).
3．累次積分可以寫成 （ ）
【答案】：d．
【解析】：由題設可知積分區域在極座標系下是
，的圖形如圖所示.
它在直角座標系下是或
，因此，這個二重積分在直角座標下化為累次積分應為或.
由此可見（d）是正確的，應選（d）.
4．設正項級數收斂，則級數的斂散性為（ ）
絕對收斂條件收斂
發散斂散性與有關
【答案】：a
【解析】：正項級數收斂，所以且
又，於是正項級數與有相同的斂散性，即收斂，且也收斂。又，級數收斂，
所以，由比較判別法，級數絕對收斂。
5．設階方陣、、滿足關係式,其中是階單位陣,則必有（ ）
(ab)
(cd)
【答案】：（d）
【解析】：矩陣的乘法公式沒有交換律,只有一些特殊情況可以交換.
由於、、均為階矩陣,且,對等式兩邊取行列式,據行列式乘法公式
,得到、、,知、、均可逆,那麼,對於,先左乘再右乘有 ,故應選(d).
其實,對於先右乘再左乘,有
6．設為矩陣,非齊次線性方程組有解的充分條件是（ ）
(a)的列向量線性無關 (b)的列向量線性相關
(c)的行向量線性無關 (d)的行向量線性相關
【答案】：（c）
【解析】：由的行向量線性無關可知的行向量組的秩是，從而有，即非齊次線性方程組有解.
7. 已知則（ ）
（abcd）
【答案】（a）
【解析】由乘法公式得再由公式得故
8. 設總體與都服從正態分佈，已知與分別是來自總體與的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，統計量服從分布，則等於（ ）
（abcd）
【答案】（d）
【解析】，故，又由
故，則，化簡得：
得到.二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.
9．設是由確定的隱函式，則.
【答案】：.
【解析】：在方程中令可得，
將方程兩邊對求導數，得
將，代入，有，即
10．設函式滿足由曲線與直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積最小，則
【答案】：；
【解析】：可化為，通解為
。所得旋轉體的體積為
。因為，所以為最小點，因此所求函式為。
11．設存在一階偏導數，且，，.又，則_____.
【答案】：7.
【解析】：由復合函式求導法則，逐層展開有，
所以.12
【答案】：
【解析】：因
故原式13．設是矩陣，是四階矩陣，滿足，是的伴隨矩陣，若的列向量線性無關，則秩
【答案】：
【解析】：因為，所以只有零解，即，從而，因此有從而
14. 設隨機變數相互獨立，其中在上服從均勻分布，服從，服從引數為的泊松分布，記，則
【答案】
【解析】由已知條件，，
又相互獨立，從而.
三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分10分））
設有反函式。且。
（1） 求；（2）求。
【解析】：（1）記為的反函式。
由等式兩邊再對求導數得
注意到則，因此
（2）按導數定義得
16．（本小題滿分10分）
設在區間上有三階連續導數，證明存在實數使得
【解析】：將在處按泰勒公式展開，有
令分別為得，
兩式相減得，
由於在上連續，不妨設在上的最大值，最小值為,
則，根據介值定理，，使得
於是，即對於，有
17．（本小題滿分10分）
設具有連續偏導數，且，求所滿足的一階微分方程，並求其通解.
【解析】：由，有
，在條件，即，中令得，
於是滿足一階線性微分方程.
通解為，
由分部積分公式，可得，
所以.注：也可由，滿足的偏微分方程，直接得到滿足的常微分方程.
由，令，上式轉化為常微分方程，
所以，得滿足的微分方程.
18．（本小題滿分10分）
計算二重積分,其中積分區域由軸與曲線圍成.
【解析】：引入極座標滿足，在極座標中積分區域可表示為，於是
由於,,
故.19．（本小題滿分10分）求冪級數的收斂域及和函式.
【解析】：收斂半徑，
當時，級數發散，當時，級數發散，
故冪級數的收斂域為.
其和函式
，.20．（本題滿分11分）
設矩陣，，問當取何值時，存在矩陣使得，並求出矩陣
【解析】：
，由有解可知.此時，故.
21．（本題滿分11分）
設是實對稱矩陣，，的三個特徵值之和為，且是方程組的乙個解向量.
(1)求矩陣；
(2)求方程組的通解.
【解析】：（1）由是方程組的乙個解向量可知
，即，又，
故，即所以是的對應特徵值的特徵向量；
設的另外兩個特徵值為，則，解得
，設對應的特徵向量為，則它與正交，即，其基礎解系為，
令，則，
所以（2）由可得
，同解方程組為，通解為，其中為任意常數.
22．（本題滿分11分）
已知隨機變數的概率分布為
隨機變數的概率分布為
而且.（1）求的聯合概率分布；（2）問與是否相互獨立，為什麼？（3）.
【解析】（1）由已知條件，可知，
，從而.
又，從而，
，從而，
，從而，同理可求.
即的概率分布為：
（2）因為，而，從而不相互獨立.
（3）.
23. （本題滿分11分）
設總體的概率密度函式為，其中.是總體的乙個容量為的樣本，求引數的最大似然估計值.
【解析】似然函式，得.
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