數學本試卷分基礎檢測與能力檢測兩部分，共4頁．滿分為150分。考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上，並用2b鉛筆填塗學號．
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑；如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號，不能答在試題卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液．不按以上要求作答的答案無效．
第一部分基礎檢測(共100分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．不等式的解集是
ab.cd.
2．在中，角，，的對邊分別為，，，且，，
，則的值為
abcd．
3．在中，若，則的形狀是
a． 直角三角形 b．正三角形 c．等腰三角形 d．等腰直角三角形
4．是等差數列，與的等差中項為1，與的等差中項為2，則公差
a． b． c． d．
5．已知等比數列的各項均為正數，且公比，若、、成等差數列，
則公比a． b． c．或 d．或
6．如果,那麼下列不等式成立的是
a． b． c． d．
7．已知是滿足，且使取得最小值的正實數.若函式過點
，則的值為
a. 3b. 2cd.
8．已知等比數列前項和為，則下列一定成立的是
a．若，則b．若，則；
c．若，則d．若，則．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
9．已知數列為等差數列，若，，則的前項和_____．
10．不等式的解集是
11．在右側的**中，各數均為正數，且每行中的各數從左到右成等差數列，每列中
的各數從上到下成等比數列，那麼______．
12．在△abc中，的對邊分別為，若，，
，則______
三、解答題：本大題共3小題，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
13．（本題滿分14分）2023年推出一款新型家用轎車，購買時費用為14.4萬元，每年應交付保險費、 養路費及汽油費共0.7萬元，汽車的維修費為：
第一年無維修費用， 第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加0.2萬元．
(1)設該輛轎車使用n年的總費用(包括購買費用、保險費、養路費、汽油費及維修費）
為f(n)，求f(n)的表示式；
(2)這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年，年平均費用最少)?
14．（本題滿分12分）在中，角所對的邊分別是，且
．（1）求角的大小；
（2）若，，求的面積．
15．（本題滿分14分）已知數列滿足：，.數列的前項和為，.
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，.求數列的前項和.
第二部分能力檢測(共50分)
四、填空題：本大題共2小題，每小題5分，共10分．
16． 已知數列的前n項和為sn ，若，則
17．設正數滿足則
18．（本題滿分14分）如圖,遊客從某旅遊景區的景點處下山至處有兩種路徑.
一種是從沿直線步行到， 另一種是先從沿索道乘纜車到，然後從沿直線步
行到. 現有甲，乙兩遊客從處下山，甲沿勻速步行，速度為. 在甲
出發後，乙從乘車到，在處停留後，再勻速步行到. 假設纜車勻
速直線運動的速度為,山路長為，經測量,.
(1)求索道的長；
(2)問乙出發多少分鐘後，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位遊客在處互相等待的時間不超過分鐘，
乙步行的速度應控制在什麼範圍內？
19．（本題滿分12分）若有窮數列，，（是正整數）滿足條件：
，則稱其為「對稱數列」．例如，和都是「對
稱數列」．
（1）若是25項的「對稱數列」，且，是首項為1，公比為2的等
比數列．求的所有項的和；
（2）若是50項的「對稱數列」，且，是首項為1，公差為2的等
差數列．求的前項和，.
20．（本題滿分14分）數列的前項和為，已知，
(). (1) 求；
(2) 求數列的通項；
(3)設,數列的前項和為,證明:().
參***
1~8 bdcdabcc; 9. ; 10. ［－2,1］; 11. ; 12.
＝0.1n2－0.1n(萬元) …………3分
14 、（1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a-c）=b（a-b）…………2分
故a2-c2=ab-b2，故a2+b2-c2=ab，
故cosc＝＝，…………4分
故c=60°…………5分
（2）由（1）中a2-c2=ab-b2，得25-49=5b-b2，
得b2-5b-24=0，解得b=8或b=-3（舍），故b=8．…………9分
所以，△abc的面積為：s＝absinc＝10．…………12分
15、解: （1）由得，…………1分
又，所以數列是以1為首項，為公差的等差數列，於是3分
當時，…………4分
當時，，
，…………6分
又時，所以，. …………7分
（2）由（ⅰ）知，，，
所以.…………9分
所以 ………(1)
等式兩邊同乘以得
………(2) …………10分
(1)-(2)得
…………12分
所以.…………14分
16 、 ; 17、
18、解:(1)∵,
∴∴, .…………1分
∴…………2分根據得 …………4分2)設乙出發t分鐘後,甲.乙距離為d,
則 …………5分7分即 …………8分 ∴時,即乙出發分鐘後,乙在纜車上與甲的距離最短. …………10分 (3)由正弦定理得(m) …………11分乙從b出發時,甲已經走了50(2+8+1)=550(m),還需走710 m 才能到達c 設乙的步行速度為v ,則 …………12分∴∴ …………13分∴為使兩位遊客在處互相等待的時間不超過分鐘,乙步行的速度應控制在範圍內…………14分19、（1）依題意，，…，.…………2分則，，…，.
…………4分
則 ……………..6分
（2）依題意，，因為是50項的「對稱數列」，所以
…， 所以當時，；…………8分當時，，
.…………11分
綜上12分
20、 (1)當時,,解得1分
當時,, 解得2分
(2)當時，，整理得
，即5分
所以數列是首項為,公差為的等差數列6分
所以，即7分
代入中可得8分
(3) 由(ⅱ)得9分
當時，……11分
當時,成立12分
當時,所以
綜上所述,命題得證14分
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