第五章二次同余式與平方剩餘
解答題1、設是兩個不同的奇素數，且，證明：。
證明：由知同為或同為，當同為時，有，當同為時，有。
當時，則，令，為奇數，於是有， 若，；
當時，若，，故有；類似地，
當時，令，為奇數，於是；當時，
2、設是奇素數，，證明
解：由定理，有
3、設，，，，求證：，，
證明：由已知：，，，
4、已知563是素數，判定方程是否有解
解：利用已有的定理，有
5、判斷方程有沒有解。
解：由定理2，因為
方程有解。
6、求的平方剩餘與非平方剩餘.
解：因為,所以平方剩餘與非平方剩餘各有個.
又因為所以是素數的5個平方剩餘，其他的8個數，是素數11的平方非剩餘.
7、利用課本尤拉判別條件來判斷
3是不是模17的二次剩餘
7是不是模29的二次剩餘
解：由知，3是模17的
二次非剩餘。
由知，7是模29的二次剩餘。
8、設，計算
解：因為故
因為再利用二次互反定律和前面講到的有關性質，有
故是模的二次非剩餘
9、決定所有的奇素數，使為模的二次剩餘，同時決定所有的奇素數，使為模的二次非剩餘
解：首先，由二次互反定律，我們有
當形的素數時，
當形的素數時，
當形的素數時，
當形的素數時，
故當時，為模的二次剩餘，當時為模的二次非剩餘。
10、設與是正奇數，求與的關係。
解我們有
11、判斷同余式是否有解
解： 已知為素數，且。故知， 又因為
故，因而原式同余式無解。
12、設是奇素數，是整數，則
(ⅰ) ；
(ⅱ) 若，則；
(ⅲ) ；
(ⅳ) 對任意的整數有
。證明結論(ⅰ)與(ⅱ)容易由定義2及定理1得到。
為了證明結論(ⅲ)，只需證明其中的第二個等式。由結論(ⅰ)，有
，其中同余式兩端都只能取值 1或 1，因此，結論(ⅲ)的第二個等式成立。
最後，由結論(ⅰ)，有
由於上式首端與末端都是只取值 1，0或1的整數，所以它們必相等。結論(ⅳ)得證。證畢。
13、已知是素數，判定方程是否有解。
解：利用已有的定理，有
故方程有解。
14、同餘方程有多少個解？
解：因故無解
15、證明：若，則
證明:因為，所以，所以同奇同偶，故而。所以，即。
16、若是素數，則。
證：為整數
位奇素數
則有下面證
而又為奇素數
17、判斷方程是否有解。
解： 令，則原式為
無解，則原式也無解
18、判斷下列結論是否成立，錯誤的舉出反例。
(1) 若成立，則。
不成立，如，而不成立。
（2）若成立，則或者至少有乙個成立。
不成立，，而不成立。
（3）若，則。
不成立，，而不成立。
19、設為奇數，證明：
證明： 當時，則，令，為奇數，於是有，
若，； 當時，若，故有；類似地，當時，令為奇數，於是；當時，
20、設是奇素數，證明：模的兩個二次剩餘的乘積是二次剩餘；兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘；乙個二次剩餘和乙個二次非剩餘的乘積是二次非剩餘。
證明：設為模的二次剩餘，為模的二次非剩餘則
模的兩個二次剩餘的乘積是二次剩餘
模的兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘
模的乙個二次剩餘與乙個二次非剩餘的乘積是二次非剩餘
原命題得以證明
21、判斷是否有解，若有解，解數是多少？
解：因為而不整除由定理五可知
故該方程無解
22、已知與是素數，判定方程
；是否有解。
解： 因為，原同餘方程有解； ，原同餘方程有解。
23、求,其中563是素數.
解把看成jacobi符號,我們有
即429是563的平方剩餘
24、設素數，證明是同餘方程
的解。證明：由尤拉判別法知
兩邊乘得
由此知的解是
25、求出模7的平方剩餘和非平方剩餘?
解：設是模7的平方剩餘，顯然有
可知顯然
所以模7的平方剩餘為，非平方剩餘
26、判斷方程有沒有解。
解：可知
所以方程無解。
27、判斷方程有沒有解.
解：由定理2，
又方程有解
28、為何為奇素數時，-1是它的平方剩餘？
解：由得
29、判斷方程有沒有解。
解：模的簡化系中，二次剩餘與二次非剩餘的個數都是，且模的每個二次剩餘與且僅與數列中的乙個數同，於又
所以方程有解
30、判斷方程有沒有解，
解：由定理2，
方程有解
31、設奇素數為型，且，證明：.
證明：設，為正奇數，，當時，型，，當時，，所以.
32、 解同餘方程
解：因而無解
故也無解
33、試證同餘方程有解的必要充分條件是奇質數是的形狀，並利用威爾生定理證明它的解是.
解：時， 再於是
34、求所有的素數，使得下面的方程有解：
。解: 由推出，由此得，即
，解之得
35、同餘方程有解的充要條件是
1 證明：必要性：
有解充分性：由得有解
而的乙個解為
有解36、證明：對於任意的奇素數，總存在整數，使得
證明：當時，同餘方程有解，即，從而；
當時， 同餘方程有解，即，從而；
當時，同餘方程有解，即，從而
37、證明：對於任意給定的正整數，比存在，使得同餘方程的解集
令是不同的奇素數，
由的解集
故，當充分大時，必有
第5章反饋習題解答
1.判斷下列電路中是否存在反饋？是正反饋還是負反饋？若是負反饋，請說明反饋型別，並寫出反饋係數。ab cd e f 答 a 為電流串聯負反饋，b 為電壓併聯負反饋，c 就交流訊號而言為提高輸入電阻的正反饋自舉電路。d 為電壓串聯負反饋，e 為電流串聯負反饋，f 為電流併聯負反饋，2.有人說，可以將共...
第5章計算分析題答案
第5章長期資金籌集方式 1.某公司擬發行長期債券籌資，預計的債券面值為1000元，票面利率為8 每半年支付一次利息，期限為5年。如果發行時市場利率為10 則該債券的合理定價為多少？答案 由於每年付息兩次，因此，折現率 10 2 5 期限為5 2 10。債券發行 1000 p f，5 10 1000 ...
第37章回顧與反思
九年級 數學 學教案 課題 37章回顧與反思 漢兒莊中學執筆人審核領導 學習目標 1 知識目標 1 對中心投影和平行投影，只要求讓學生通過例項進行了解就行了，不要求學生從嚴格的數學意義上去理解，但應要求學生了解它們的區別。教學中可以充分展示生活中的例項，也可以讓學生根據已有的知識去尋找，豐富他們的數...