第4章模擬調製系統
4.1 典型例題
【例4-1】 設基帶訊號為m(t)=cosωmt，試求fm訊號和pm訊號時域表示式，以及它們的瞬時頻率曲線和時域波形。
解 fm訊號時域表示式為
sfm(t)=acos(ωct+kf)=acos(ωct+sinωmt)
瞬時頻率為
ωfm(t)=ωc+kfcosωmt
pm訊號的時域表示式為
spm(t)=acos(ωct+kpcosωmt)
瞬時頻率為pm(t)=ωc-kpωmsinωm(t)
fm訊號和pm訊號的瞬時頻率及時域波形分別如圖4-21(a)和(b)所示。
圖4-21例4-1圖
【例4-2】 某調製方框圖如圖4-22(b)所示。已知m(t)的頻譜如圖4-22(a)所示，載頻ω1<<ω2，ω1>ωh，且理想低通濾波器的截止頻率為ω1，試求輸出訊號s(t)，並說明s(t)為何種已調訊號。
圖4-22例4-2圖1
解方法一：時域法
兩個理想低通輸出都是下邊帶訊號，上支路的載波為cosω1t，下支路的載波為sinω1t。根據式(4-9)得
d(t)= am(t)cosω1t+a (t)sinω1t
根據式（4-10）得
e(t)= am(t)sinω1t-a (t)cosω1t
由此得s(t)=f(t)+g(t)
=am(t)(cosω1t+sinω1t)cosω2t+a (t)(sinω1t-cosω1t)sinω2t
=am(t)cos(ω2-ω1)t-=a (t)sin(ω2-ω1)t
可知，s(t)是乙個載頻為ω2-ω1的上邊帶訊號。
方法二：頻域法
上支路各點訊號的頻譜表示式為
sb(ω)=［m(ω+ω1)+m(ω-ω1)］
sd(ω)=［m(ω+ω1)+m(ω-ω1)］hl(ω)
sf(ω)=［sd(ω+ω2)+sd(ω-ω2)］
下支路各點訊號的頻譜表示式為
sc(ω)=［m(ω+ω1)-m(ω-ω1)］
se(ω)=［m(ω+ω1)-m(ω-ω1)］hl(ω)
sg(ω)=·se2)-δ(ω-ω2)］
=［m(ω+ω1)-m(ω-ω1)］hl2)-δ(ω+ω2)］s(ω)=sf(ω)+sg(ω)
各點訊號頻譜圖如圖4-23所示。由圖可知，s(t)是乙個載頻為ω2-ω1的上邊帶訊號，即
s(t)= am(t)cos(ω2-ω1)t-a (t)sin(ω2-ω1)t
圖4-23例4-2圖2
【例4-3】 單邊帶訊號相干解調器方框圖如圖4-3所示，設通道加性白雜訊單邊功率譜密度為n0，基帶訊號頻率範圍為fl～fh，試證明：解調器輸出訊雜比為。
證明設為下邊帶，則
slsb(t)= m(t)cosωct+a (t)sinωct
解調器輸入端帶通濾波器中心頻率fc-fhn(t)=nc(t)cosω0t-ns(t)sinω0t
相乘器的輸出為
［slsb(t)+n(t)］cosωct=m(t)+ m(t)cos2ωct- (t)sin2ωct
+nc(t)［cosδωt+cos(ωc+ω0)t］
-ns(t)［sinδωt+sin(ωc+ω0)t］
式中c-ω0
低通濾波器輸出的訊號和雜訊分別為
mo(t)= m(t)
no(t)= nc(t)cosδωt-12ns(t)sinδωt
輸出訊號功率為
so=輸出雜訊功率
no== (1+cos2δωt)+ (1-cos2δωt)- nc(t)ns(t)sin2δωt
因nc(t)與ns(t)在同一時刻不相關，cos2δωt與sin2δωt及nc(t)、ns(t)不相關，n2c(t)=n2s(t)，所以
no=+1=n2c(t)= n0fh
解調器輸入訊號功率
si=+cos2ωct+［(t)］2
-［(t)］2cos2ωct-m(t) (t)sin2ωct
因為jsgn(ω)］·m(ω)
所以2=［m(ω)］2
可見m(t)的功率與(t)的功率是相等的。因為m2(t)及［(t)］2與cos2ωct不相關，m(t)、(t)與sin2ωct不相關，所以解調器輸入訊號功率為
si=+cos2ωct-［(t)］2cos2ωct
- (t)·sin2ωct=
解調器輸出訊雜比
=命題證畢。
【例4-4】 設某通道具有均勻的雙邊雜訊功率譜密度pn(f)=0.5×10-3 w/hz，在該通道中傳輸抑制載波的雙邊帶訊號，並將調製訊號m(t)的頻帶限制在5 khz，而載波頻率為100 khz，已調訊號的功率為10 kw。若接收機的輸入訊號在加至解調器之前，先經過頻寬為10 khz的一理想帶通濾波器濾波，試問：
(1) 該理想帶通濾波器中心頻率為多大?
(2) 解調器輸入端的信噪功率比為多少?
(3) 解調器輸出端的信噪功率比為多少?
(4) 求出解調器輸出端的雜訊功率譜密度，並用圖形表示出來。
解 (1) 濾波器中心頻率為100 khz。
(2) ni=2pn(f)×2fh=(4×0.5×10-3×5×103) w=10 w
輸入信噪功率比為si/ni=10×103/10=103
(3) 輸出信噪功率比為
so/no=g(si/ni)=2×103
(4) 解調器輸出雜訊no(t)為
(nc(t)cosωct-ns(t)sinωctcosωctnc(t)
所以no(t)的功率譜密度為
pno(f)= (f)=
(f)的圖形如圖4-24所示。
【例4-5】 設本地載波與傳送載波的頻率誤差和相位誤差分別為δω和δφ，試分析對dsb訊號相干解調結果的影響。
圖4-24例4-4圖
解本地載波與dsb訊號相乘後為
sdsb(t)·c(t)=m(t)cosωct·cos(ωct+δωt+δφ)
=m(t)cos(δωt+δφ)+ m(t)cos(2ωct+δωct+δφ)
經lpf後得到
mo(t)= m(t)cos(δωt+δφ)
可見，若δω=0，則解調輸出功率下降，即相位誤差使解調輸出功率下降。若δω≠0，則解調輸出發生失真。
【例4-6】 試證明：當am訊號採用同步檢波法進行解調時無門限效應。
證明相乘器輸入訊號和雜訊分別為
sam(t)=［a+m(t)］cosωct
n(t)=nc(t)cosωct
相乘器輸出為
低通濾波器輸出訊號和雜訊分別為
mo(t)= m(t)
no(t)= nc(t)
輸出訊雜比為
輸入訊號功率為
si=輸入雜訊功率為
ni=輸入訊雜比為
am訊號同步檢波解調器的制度增益為
g=可見，制度增益與輸入訊雜比無關，即am訊號同步檢波解調器無門限效應。
此結論適用於所有訊號的相干解調器。
【例4-7】 已知調頻訊號
sfm(t)=10cos［(106πt)+8cos(103πt)］
調製器的調頻靈敏度為200 hz/v，試求：
(1) 載頻fc；
(2) 調頻指數βf；
(3) 最大頻偏δf；
(4) 調製訊號m(t)。
解 (1) fc=hz=0.5 mhz
(2) βf=8
(3) δf=hz=4 khz
(4) 由kf=8cos(103πt)得
m(t)= =20sin(103πt)
【例4-8】 設一寬頻頻率調製系統，載波振幅為100 v、頻率為100 mhz，調製訊號m(t)的頻帶限制於5 khz， =5000 v2，kf=500πrad/(s·v)，最大頻偏δf=75 khz，並設通道中雜訊功率譜密度是均勻的，其pn(f)=10-3 w/hz(單邊譜)，試求：
(1) 接收機輸入端理想帶通濾波器的傳輸特性h(ω)；
(2) 解調器輸入端的信噪功率比；
(3) 解調器輸出端的信噪功率比；
(4) 若m(t)以振幅調製方法傳輸，並以包絡檢波器檢波，試比較在輸出訊雜比和所需頻寬方面與頻率調製系統有何不同?
解 (1) fm訊號頻寬為
bfm=2(δf+fh)=2(75+5) khz=160 khz
接收機輸入端理想帶通濾波器的傳輸特性為
(2) 解調器輸入訊號功率為
解調器輸入雜訊功率為
ni=pn(f)bfm=10-3×160×103 w=160 w
解調器輸入從噪比為
si/ni=5000/160=31.25
(3) 解調器輸出訊號功率
解調器輸出雜訊功率為
w=83.3×102 w
解調器輸出訊雜比為
(so/no)fm=3125×105/(83.3×102)=37500
(4) am訊號包絡檢波輸出訊雜比為
(so/no)am=
=75，
這說明，頻率調製系統抗噪效能的提高是以增加傳輸頻寬(減低有效性)作為代價的。
【例4-9】 對單頻調製的常規調幅訊號進行包絡檢波。設每個邊帶的功率為10 mw，載波功率為100 mw，接收機帶通濾波器頻寬為10 khz，通道雜訊單邊功率譜密度為5×10-9 w/hz。
(1) 求解調輸出訊雜比；
(2) 如果改為抑制載波雙邊帶訊號，其抗噪效能優於常規調幅多少分貝?
解 (1) 解調器輸入訊號功率為
si=(100+2×10) mw=120×10-3 w
解調器輸入雜訊功率為
ni=(5×10-9×10×103) w=5×10-5 w==2400
由已知條件可得調製效率為
ηa=所以制度增益為
g=2ηa=
解調器輸出訊雜比為
(2) 設接收機輸入訊號功率相同，則dsb相干解調器輸入訊雜比與am相同，即
解調器輸出訊雜比為
dsb接收機輸出訊雜比優於am接收機輸出訊雜比的分貝數為
【例4-10】 設調頻和常規調幅訊號均為單頻調製，調頻指數為βf，調幅指數βa=1，調製訊號頻率為fm。當通道條件相同、接收訊號功率相同時比較它們的有效性和可靠性。
解 am訊號頻寬及解調器輸出訊雜比分別為
bam=2fh
fm訊號頻寬及解調器輸出訊雜比分別為
bfm=2(βf+1)fm≈2βffm=βfbam
兩個通訊系統的有效性和可靠性可用下式說明：由於在fm系統中β>1，所以fm的抗噪效能優於am，但fm訊號頻寬大於am訊號頻寬。所以fm的抗噪效能優於am，這是以犧牲有效性為代價的。
【例4-11】 設有乙個頻分多路復用系統，副載波用ssb調製，主載波用fm調製。如果有60路等幅的音訊輸入通路，則每路頻帶限制在3.3 khz以下，防護頻帶為0.7 khz。
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