命題人：常玉茹老師
1、填空題
1．有人設想了一種靜電場：電場的方向都垂直於紙面並指向紙裡，電場強度的大小自左向右逐漸增大，如圖所示．這種分布的靜電場是否可能存在？試述理由
2．某光滑曲面由曲線繞豎直軸旋轉一周形成．一自然半徑、質量、勁度係數的彈性圓環置於該曲面之上，能水平靜止於任意高度處，則曲線方程為
3.在國際單位制中，庫侖定律寫成，式中靜電力常量 ，電荷量q1和q2的單位都是庫侖，距離r的單位是公尺，作用力f的單位是牛頓.若把庫侖定律寫成更簡潔的形式，式中距離r的單位是公尺，作用力f的單位是牛頓，由此式可定義一種電荷量q的新單位.
當用公尺、千克、秒表示此新單位時，電荷新單位新單位與庫侖的關係為1新單位c.
4．在圖示的複雜網路中，所有電源的電動勢均為，所有電阻器的阻值均為，所有電容器的電容均為，則圖示電容器a極板上的電荷量為
二、根據廣義相對論, 光線在星體的引力場中會發生彎曲，在包含引力中心的平面內是一條在引力中心附近微彎的曲線．它距離引力中心最近的點, 稱為光線的近星點．通過近星點與引力中心的直線, 是光線的對稱軸．若在光線所在平面內選擇引力中心為平面極座標(r,φ)的原點, 選取光線的對稱軸為座標極軸, 則光線方程（光子的軌跡方程）為, g是萬有引力常量, m是星體質量，c是光速, a是絕對值遠小於1的引數．現在假設離地球80.0光年處有一星體, 在它與地球連線的中點處有一白矮星．如果經過該白矮星兩側的星光對地球上的觀測者所張的視角是弧度, 試問此白矮星的質量是多少kg ? 已知g=m3/(kg s2)．
三、足球射到球門橫樑上時，因速度方向不同、射在橫樑上的位置有別，其落地點也是不同的.已知球門的橫樑為圓柱形，設足球以水平方向的速度沿垂直於橫樑的方向射到橫樑上，球與橫樑間的滑動摩擦係數μ=0.70，球與橫樑碰撞時的恢復係數e=0.
70.試問足球應射在橫樑上什麼位置才能使球心落在球門線內(含球門線上)？足球射在橫樑上的位置用球與橫樑的撞擊點到橫樑軸線的垂線與水平方向(垂直於橫樑的軸線)的夾角θ(小於90ο)來表示.
不計空氣及重力的影響.
四、折射率、半徑為r的透明半圓柱體放在空氣中，其垂直於柱體軸線的橫截面如圖所示，圖中o點為橫截面與軸線的交點．光僅允許從半圓柱體的平面ab進入，一束足夠寬的平行單色光沿垂直於圓柱軸的方向以入射角i射至ab整個平面上，其中有一部分入射光束能通過半圓柱體從圓柱面射出，這部分光束在入射到ab面上時沿y軸方向的長度用d表示．本題不考慮光線在透明圓柱體內經一次或多次反射後再射出柱體的複雜情形．
１．當平行入射光的入射角i從到變化時，試求d的最小值和最大值．
２．在如圖所示的平面內，求出射光束與柱面相交的圓弧對o
點的張角與入射角i的關係．並求在掠入射時上述圓弧的位置．
五、如圖所示，一容器左側裝有活門，右側裝有活塞b，一厚度可以忽略的隔板m將容器隔成a、b兩室，m上裝有活門。容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的。隔板和活塞可用銷釘固定，拔掉銷釘即可在容器內左右平移，移動時不受摩擦作用且不漏氣。
整個容器置於壓強為p0、溫度為t0的大氣中。初始時將活塞b用銷釘固定在圖示的位置，隔板m固定在容器pq處，使a、b兩室體積都等於v0；、關閉。此時，b室真空，a室裝有一定量的空氣（容器內外氣體種類相同，且均可視為理想氣體），其壓強為4p0/5，溫度為t0。
已知1mol空氣溫度公升高1k時內能的增量為cv，普適氣體常量為r。
1.現在開啟，待容器內外壓強相等時迅速關閉（假定此過程中處在容器內的氣體與處在容器外的氣體之間無熱量交換），求達到平衡時，a室中氣體的溫度。
2.接著開啟，待a、b兩室中氣體達到平衡後，關閉。拔掉所有銷釘，緩慢推動活塞b直至到過容器的pq位置。
求在推動活塞過程中，隔板對a室氣體所作的功。已知在推動活塞過程中，氣體的壓強p與體積v之間的關係為＝恒量。
六、如圖所示，一根質量可以忽略的細桿，長為2，兩端和中心處分別固連著質量為的小球b、d和c，開始時靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質量為的小球a，以一給定速度沿垂直於杆db的方間與右端小球b作彈性碰撞。求剛碰後小球a,b,c,d的速度，並詳細討論以後可能發生的運動情況。
七、兩慣性系與初始時刻完全重合，前者相對後者沿軸正向以速度高速運動．作為光源的自由質點靜止於系中，以恆定功率向四周輻射(各向同性)光子．在系中觀察，輻射偏向於光源前部(即所謂的前燈效應)．
1．在系中觀察，系中向前的那一半輻射將集中於光源前部以軸為軸線的圓錐內．求該圓錐的半頂角．已知相對論速度變換關係為
式中與分別為與系中測得的速度分量，c為光速．
2．求系中測得的單位時間內光源輻射的全部光子的總動量與總能量．
八、磁場會影響電子的運動，從而使存在磁場時的電流與電壓之間的關係偏離通常我們熟悉的歐姆定律，本題所要研究的問題即為一例．
設平面內有面密度（單位面積中的電子數）為的二維電子氣．平面內沿軸正方向存在均勻電場（為軸正方向單位向量），垂直於平面的方向存在均勻磁場，磁感應強度為（為軸正方向單位向量）．已知平面內的電子運動受到的散射阻力與速度成正比，可等效地用一時間參量描述為，為電子質量．試求在穩態沿和方向的電流密度（大小為垂直於電流方向單位長度上的電流）和，將結果用電子電荷量絕對值、、、、及表出，．
參***
一、填空
1．這種分布的靜電場不可能存在.因為靜電場是保守場，電荷沿任意閉合路徑一周電場力做的功等於0，但在這種電場中，電荷可以沿某一閉合路徑移動一周而電場力做功不為0．
2. 3. (答也給分)4．
二、方程
1)是φ的偶函式, 光線對極軸對稱．光線在座標原點左側的情形a<0, 光線在座標原點右側的情形a>0．右圖是光線在原點左側的情形, 極軸ox, 白矮星在原點o．在(1)式中代入近星點座標r=rm和φ=π, 並注意, 就有
2)經過白矮星兩側的星光對觀測者所張的視角θs可以有不同的表達方式, 相應地問題有不同的解法．
若從白矮星到地球的距離為d, 則可近似地寫出
3)在(1)式中代入觀測者的座標r=d和φ= －π/2, 有
4)由(2)與(4)式消去a, 可以解出
5)把它代入(3)式, 就得到
6)也就是
7)其中
8)在(7)式中代入數值就算出
9)三、
足球射到球門橫樑上的情況如圖所示（圖所在的平面垂直於橫樑軸線）.圖中b表示橫樑的橫截面，o1為橫樑的軸線；為過橫樑軸線並垂直於軸線的水平線；a表示足球，o2為其球心；o點為足球與橫樑的碰撞點，碰撞點o的位置由直線o1oo2與水平線的夾角θ表示.設足球射到橫樑上時球心速度的大小為v0，方向垂直於橫樑沿水平方向，與橫樑碰撞後球心速度的大小為v，方向用它與水平方向的夾角表示(如圖).
以碰撞點o為原點作直角座標系oxy，y軸與o2oo1重合.以α0表示碰前速度的方向與y軸的夾角，以α表示碰後速度的方向與y軸(負方向)的夾角，足球被橫樑**後落在何處取決於**後的速度方向，即角α的大小.
以fx表示橫樑作用於足球的力在x方向的分量的大小，fy表示橫樑作用於足球的力在y方向的分量的大小，t表示橫樑與足球相互作用的時間，m表示足球的質量，有
1)2)
式中、、和分別是碰前和碰後球心速度在座標系oxy中的分量的大小.根據摩擦定律有
3)由（1）、（2）、（3）式得
4)根據恢復係數的定義有5）因
6） 7）
由（4）、（5）、（6）、（7）各式得
8）由圖可知9）
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