江南大學模擬試題
一、大家在日常生活中通常遇到這樣的情景，如果沒有開啟瓶蓋的起子，當然可用牙齒咬開，也可以把瓶蓋挨著桌子，猛擊瓶蓋而開啟它．但這兩種方法都不太好：前者不太衛生，易損壞牙齒；後者易損壞桌子，有時甚至會擊碎瓶口，使手受傷．下面的方法則較文雅也方便．如圖左手拇指緊壓住瓶蓋，其餘四指緊握住瓶頸且靠近瓶蓋．右手抓住筷子的一頭，另一頭夾在瓶蓋與手指之間，然後右手向下用力，一般很容易就開啟了瓶蓋。（20分）
(1)本問題與力學中的什麼內容有關係?
(2)若筷子彎曲太大如何處理?
(3)右手上用的力與瓶蓋上所受力的關係? 若右手向下用力過猛，筷子何處最易折斷？
圖1圖2
解：（1）實際上，這個方法中應用了槓桿原理．筷子在這裡充當了槓桿。
（2）若筷子彎曲太大，可把兩支疊在一起用。這樣可提高抗彎截面係數。
（3）左手手指充當了支點．（這個方法中，大拇指壓住艇羹的主要目的，是防止其餘四指(支點)向下打滑，圖1可簡化成圖2所示的力學模型，設槓桿兩端一邊是右手施加的力f，一邊是瓶蓋施加的力q ，，。即，由於，所以。即右手只要稍加力，就可能開啟瓶蓋。
把筷子作為一受力桿件，最大彎矩在o處（圖3示），即左手手指與筷子接觸處最容易折斷。
圖3二、某工地為使工人高處作業方便，在木樁上擱置一些木板。圖示為一手握推車的工人站在板上。若設板長5m，厚58mm，抗彎剛度ei =200 kn·m2，假設板的寬度遠小於長度，工人沿板的寬度中線行走，不計板重；木樁截面為8080mm的正方形；木材的彈性模量e =10gpa，許用應力[σ]=12mpa。
工人的體重為800n；手推車的連同車內物料的重量共1200n，其質心距工人1m，距小車的輪軸0.5m。（35分）
（1）畫出板的結構分析模型的簡圖。
（2）並問工人站在何處，板的最大彎曲正應力最大？
（3）該結構是否安全可靠？
解：（1）可將板視作梁分析，並設人離板的左端a得距離為x，
其結構分析模型如圖（b）所示。
通過分析人車組合，得：
f1=1200n， f2=800n
（2）根據板的最大彎曲正應
力計算公式可知，彎矩最大
處彎曲正應力最大。
最大彎矩將出現在f1或 f2
的作用點c、d（位置變化）
mc=1760x 400x2
md= 400 x2 +1160x + 840
當x = 2.2m 處， mmax = 1936nm
（3）板的強度校核：
木樁的穩定性分析：
考慮木樁穩定性最不利的約束方式，即下端固定，上端自由，則長度係數μ =2
臨界力26kn
木樁的受力與工人在板上的位置有關，最大受力是當x = 0時，a處的受力
f max = 880n << fcr
木樁足夠穩定。
所以結構安全。
三、 山坡上下有ab兩根木柱，頂端在同一水平線上，長度分別為l1和l2，慣性矩分別為i1和i2，彈性模量為e，用一不可伸長的繩子以水平力p將a樁頂端拉緊，繩的另一端拴在b樁頂端，然後鬆開（25分）
(1) 求繩中張力;
(2) 若兩端距離為l,改用拉伸剛度為e0a0的彈性繩，結果又如何？
解：設繩子右端拴住b樁頂端並除去p力後繩中張力為p1，若繩子不可伸長，在p1作用下，兩根懸臂梁頂端的撓度之和應與p力作用的a梁頂端的撓度相等。
故變形協調條件為
由此得：
對於拉伸剛度為e0a0的彈性繩，可設該繩原長為l0 (l0略小於l)，用p力拉繩的右端至b樁頂端時，有
1）當拴住b樁頂端並除去p力後，繩中張力變為p1，此時有：
2）由（1）、（2）兩式得
3）根據（3）式且，最後得：
四、一天，師傅欲檢驗徒弟知識的靈活應用能力，準備了半徑分別為、兩齒輪、，小齒輪可在大齒輪內作純滾動，小齒輪上有偏心點，其偏心距為。要求徒弟根據給定的材料設計一套簡單的機構，繪製精美的幾何圖形。聰明的徒弟很快領會師傅的意圖，將大齒輪固定，小齒輪的偏心點處安裝畫筆，如圖1示，當小齒輪在大齒輪內滾動時，畫筆下出現了精美的幾何圖形。
（40分）
下面的問題交給聰明的你，相信你能解答
（1）本問題與力學中的什麼內容有關係？
（2）求出偏心點（畫筆）的軌跡方程，圖形的幾何形狀與何引數有關？當圖形曲線退化為直線時，機構引數滿足何關係?
（3）當幾何圖形為圖2示的三葉玫瑰曲線時，機構引數與曲線方程中的引數滿足何關係？
圖1圖2
解：（1）本問題與力學中點的運動軌跡、運動合成有關
（2）取定座標如圖3示，小齒輪上偏心點座標為，圖示位置時：
純滾動時，滿足：則：
（1圖3
當機構引數滿足：時，圖形曲線退化為直線。
（3）對的曲線方程，在圖2示直角座標中可表示為
進一步：
利用三角公式變換：
2）對照（2）問題中的軌跡方程
作變換3）
由式（2）、（3）對比知，當機構引數滿足：
時即可畫出要求的三葉玫瑰線圖形。
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