本節要建立極限的四則運算法則和復合函式的極限運算法則. 在下面的討論中，記號「」下面沒有表明自變數的變化過程，是指對和以及單則極限均成立. 但在論證時，只證明了的情形.
分布圖示
★ 極限運算法則例1例2
★ 例3-4例5例6
★ 例7例8例9
★ 例10例11
★ 復合函式的極限運算法則
★ 例12例13
★ 內容小結課堂練習
★ 習題 1- 6
內容要點
一、 極限的四則運算：定理1 推論1 推論2
二、 復合函式的極限運算法則：定理2
例題選講
極限的四則運算
例1(e01) 求.
解 注：設則有
例2 (e02) 求.
解 注：設且則有
當時，則商的法則不能應用.
例3 (e03) 求.
解商的法則不能用.又
由無窮大與無窮小的關係，得
例4 (e04) 求.
解時，分子和分母的極限都是零先約去不為零的無窮小因子後再求極限.
（消去零因子法）
例5 (e05) 計算
解時，分子和分母的極限都是無窮大(型).先用去除分子分母，分出無窮小，再求極限.
無窮小因子分出法)
注：當和為非負整數時，有
無窮小因子分出法：以分母中自變數的最高次冪除分子和分母，以分出無窮小，然後再求極限的方法.
例6 計算
解時，分子分母均趨於此類極限也不能直接用極限運算法則，可把分子分母同除以絕對值最大的項，再用極限運算法則.
例7 (e06) 求
解本題考慮無窮多個無窮小之和.先變形再求極限
例8 計算
解因分母的極限為0，故不能應用極限運算法則，而要先對函式做必要的變形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然後約去分子分母中的公因子.
例9 計算
解時，與的極限均不存在，但不能認為它們差的極限也不存在，要先用三角公式變形：
最後這一步用了「有界量與無窮小的乘積為無窮小」的結論.
例10 計算下列極限：
解 (1) 由於而是有界量，由「有界量與無窮小之積為無窮小」知
(2) 因為又從而即為有界量，所以
例11 已知求
解先求因為
所以此外，易求得
例12 (e07) 求.
解一令則當時，
故原式 解二
例13 已知求之值.
解因故解得
課堂練習
1. 求極限:
(2)2. 在某個過程中，若有極限，無極限，那麼是否有極限？為什麼？
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