一、還原問題
練習題：
1. 某數加上6，乘以6，減去6，除以6，其結果等於6，則這個數是多少？
解答：（6×6+6）÷6-6=1，這個數是1.
2. 兩個兩位數相加，其中乙個加數是73，另乙個加數不知道，只知道另乙個加數的十位數字增加5，個位數字增加1，那麼求得的和的後兩位數字是72，問另乙個加數原來是多少？
解答：和的後兩位數字是72，說明另乙個加數變成了99，所以原來的加數是99-51=48.
3. 有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。
哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊。
問最初弟弟準備挑多少塊？
解答：先算出最後各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然後來還原：1. 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；
2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那麼剩下的就是另一半，所以哥哥就應該是9+9=18，弟弟是17-9=8；
3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那麼弟弟原來就是8+8=16塊.
4. 甲、乙、丙三人錢數各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數都比原來增加了兩倍，結果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數都比原來增加了兩倍，結果丙的錢最多；最後丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數都比原來增加了兩倍，結果三人錢數一樣多了。如果他們三人共有81元，那麼三人原來的錢分別是多少元？
解答：三人最後一樣多，所以都是81÷3=27元，然後我們開始還原：1.
甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應該是原來的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2. 甲和丙把錢還給乙：
甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3. 最後是乙和丙把錢還給甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.
5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍。現在三人的糖豆一樣多。
如果開始時甲有51粒糖豆，那麼乙最開始有多少粒糖豆？
解答：先假設後來三個人都是4份，還原後得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實際上甲原來有51粒，51÷3=17，那麼我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆17×5=85粒.
6. 有一筐蘋果，把它們三等分後還剩2個蘋果；取出其中兩份，將它們三等分後還剩兩個；然後再取出其中兩份，又將這兩份三等分後還剩2個。問：這筐蘋果至少有幾個？
解答：如果最後的1份只有1個的話，我們很快就可以發現前面的11份就是（1×3+2）÷2=2.5個，這是不可能的，所以最後的那乙份至少是2個，那麼這筐蘋果原來至少有：
（2×3+2）÷2×3+2=23個.
7. 兄弟三人分24個桔子，每人所得個數分別等於他們三年前各自的歲數。如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現有的桔子的一半平分給老三與老大，最後老大把現有的桔子的一半平分給老二與老三，這時每人的桔子數恰好相同。
問：兄弟三人的年齡各多少歲？
分析與解：由於總共有24個桔子，最後三人所得到的桔子數相等，因此每人最後都有24÷3＝8（個）桔子。由此列表逆推如下表：
由上表看出，老大、老
二、老三原來分別有桔子13，7，4個，現在的年齡依次為16，10，7歲。
逆推時注意，拿出桔子的人其桔子數減少了一半，逆推時應乘以2；另兩人各增加拿出桔子的人拿出桔子數的一半，逆推時應減去拿出桔子數的一半。
二、盈虧問題
1．少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其餘每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？
【分析】：解這道題的關鍵在於條件的轉換，把「如果其中兩人各挖4個樹坑，其餘每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑」 轉換成「每人挖6個樹坑，還差2×（6－4）個樹坑。」則本題成為「一盈一虧」的盈虧問題；對比兩個條件，因為每人多挖（6－5）乙個；所以就要多挖〔3＋2×（6－4）〕個，這樣就可求出人數，繼而求出樹坑數。
在這裡我們把兩個條件中每人挖的差（6－5）叫分差，因兩個條件中每人挖的數量不同而產生的差叫總差。
本題中：總差÷分差＝人數；
推廣可得：兩次分配的差叫分差，
總差分3種：一盈一虧中：盈＋虧＝總差；在雙盈或雙虧中：大數－小數＝總差；
總差÷分差＝份數份數在不同的題目中表示不同的意思。
解：〔3＋2×（6－4）〕÷（6－5）＝7（人）
7×5＋3＝38（個）--樹坑數答：共挖了38個樹坑。
2．鋼筆與原子筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支原子筆多6角。問小明帶了多少錢？
【分析】：關鍵在於條件的轉換，要麼都轉換成鋼筆，要麼都轉換成原子筆，
解1：都轉換成鋼筆；買5支鋼筆差15角，買8支鋼筆差（12×8－6）90角，這是雙虧：分差是（8－5）3支，總差是（90－15）75角，就是說多買3支，就多差75角；這樣就可求出1支鋼筆多少錢；繼而求出小明帶了多少錢。
〔（12×8－6）－15〕÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--鋼筆的價錢
25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明帶得錢數
解2：都轉換成原子筆；買5支原子筆多（12×5－15）45角，買8支原子筆多6角。
〔（12×5－15）－6〕÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--原子筆的價錢
13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明帶得錢數
3．某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學生可能有多少人？
【解答】：關鍵在於條件的理解，
每個寢室安排8個人，要用33個寢室；因沒說盈或虧，
我們只能認為至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）；
每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，也沒說盈或虧，
我們也只能認為至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）；根據這兩個條件可以得到人數在257與258之間。
（至少取大數，至多取小數，）
4．有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那麼每人4本，有剩餘；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那麼每人3本，有剩餘；每人4本，書不夠。
問第二組有多少人？
【解答】：因分給第一組，那麼每人4本，有剩餘；每人5本，書不夠。
說明第一組的人數不到48÷4＝12人，多於（48÷5＝9…3）9個人，即10到11人；
同理，第二組不到48÷3＝16人，又多與48÷4＝12人，即13到15人，
因15－10＝5（人）；由此可知：第一組是10人，第二組是15人。
5．用繩測井深，把繩三折，井外餘2公尺，把繩四折，還差1公尺不到井口，那麼井深多少公尺？繩長多少公尺？
【分析】：繩三折，井外餘2公尺，說明繩子比井深的3倍多（3×2）6公尺；繩四折，還差1公尺不到井口，說明繩子比井深的4倍少（4×1）4公尺，總差：（因多1折，就差）；（3×2）＋（4×1）；分差：
（4－3）；這樣可求出井深。
解：〔（3×2）＋（4×1）〕÷（4－3）＝10÷1＝10（公尺）--井深
10×3＋2×3＝36（公尺）--繩長
6．有乙個班的同學去划船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學？
【分析】：條件可以這樣理解，每條船坐6人，多6人；每條船坐9人，差9人。
解：（9＋6）÷（9－6）＝5（條）；5×6＋6＝36（人）
7．「六一」兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等。花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個。因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那麼小明共買了多少個球？
【分析】：根據題意我們可知盒內的球的數量一定是2、3、5的倍數，假設1份球數是30個；原來各買乙份要：
30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；現在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每買30＋30＝60個球，就可以少花1元錢，那麼小明一共就買了4×60＝240個球。
解：假設1份球數是30個；4÷〔（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2〕＝4（份）
（30＋30）×4＝240（個）
答：小明共買了240個球。
12還原問題
還原問題 1 例1 某數先加上3，再乘以3，然後除以2，最後減去2，結果是10.問 原數是多少？練習 乙個數擴大到原數的3倍後，再增加100，然後縮小一半，再減少36，最後得50.求原數。例2 乙個人沿著大堤走了全廠的一半後，又走了剩下路程的一半，還剩下1千公尺。問 大堤全長多少公尺？練習 將一根繩...
盈虧問題的幾種情況
一 盈盈公式 盈 盈 分差 人數 二 虧虧公式 虧 虧 分差 人數 三 盈虧公式 盈 虧 分差 人數 1 參加少年宮科技組活動的學生，如果分為8個小組，則多34人 如果分為10個小組，則多 10人。每個小組有多少人？這批學生共有多少人？2 把紙分給一些兒童，如果每人分3張，則缺2張 如果每人分5張，...
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