課時訓練49 直線與圓錐曲線位置關係
【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.如果橢圓=1的弦被點（4,2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）
答案：d
解析：由點在直線上排除b、c，若為a，則直線與橢圓相交的弦不被點（4，2）平分，故選d.
2.方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一座標系中的圖形可能是（ ）
答案：c
解析：∵a>0,b>0,∴直線y=ax+b過
一、三象限且在y軸上的截距為正，排除b、d，又直線過點（0,b），（-,0）,∴b>|-|.
3.設a為雙曲線=1的右支上一動點，f為該雙曲線的右焦點，連af交雙曲線於b，過b作直線bc垂直於雙曲線的右準線，垂足為c，則直線ac必過定點（ ）
a.（，0b.（，0c.（4，0d.（，0）
答案：a
解析：（特殊法）設a（5,）,則b（5,-）,c(,-).故kac=，直線ac為y-= (x-5),即：10x-4y-41=0，與x軸交點為（，0），排除b、c、d，選a.
4.對於拋物線c：y2=4x，我們稱滿足y02<4x0的點m（x0,y0）在拋物線的內部，若點m（x0,y0）在拋物線的內部，則直線l:y0y=2(x+x0)與c（ ）
a.恰有乙個公共點b.恰有兩個公共點
c.沒有公共點d.可能有乙個公共點也可能有兩個公共點
答案：c
解析：聯立方程組
消去x,得y2-2y0y+4x0=0,
δ=4y02-16x0=4(y02-4x0),
∵m（x0,y0）在拋物線內，∴y02<4x0.
∴δ<0,∴無公共點.
5.拋物線y2=2px與直線ax+y-4=0交於兩點a、b，其中點a的座標是（1，2）.若拋物線的焦點為f，則|fa|+|fb|等於( )
a.5b.6c.3d.7
答案：d
解析：由點a在拋物線和直線上知p=2,a=2,故拋物線為y2=4x,直線為2x+y-4=0,可聯立解得b(4,-4),f(1,0),故|af|+|bf|=2+5=7.
6.(2010湖北黃岡一模，11)過點m（-2，0）的直線m與橢圓+y2=1交於p1、p2兩點，線段p1p2的中點為p，設直線m的斜率為k1(k≠0)，直線op的斜率為k2，則k1k2的值為( )
a.2b.-2cd.-
答案：d
解析：將y=k1(x+2)代入x2+2y2=2中有：（1+2k12）x2+8k12x+8k12-2=0.
故p（-）.
∴k2=-,k1·k2=-.
7.(2010東北三校聯考,9)過拋物線y2=ax(a>0)的焦點f作一條直線交拋物線於a、b兩點，若線段af、bf的長分別為m、n，則等於( )
a.2ab.4acd.
答案：d
解析：(特殊法)令ab⊥x軸，則xa=xb=,∴m=n=|ya|=.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.設p1、p2是拋物線x2=y的一條弦，如果p1p2的垂直平分線的方程為y=-x+3，那麼弦p1p2所在的直線方程是
答案：y=x+2
解析：設p1（x1,y1），p2(x2,y2),顯然=1,則p1p2所在直線方程為y=x+b,
由有x2-x-b=0,
於是x1+x2=1,則p1p2的中點是p（）,
p1p2所在直線方程又可為
y-=x
又點p在直線y=-x+3上,即
+3當②代入①得y=x-(x1+x2)+3=x+2.
9.直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓=1總有公共點，則m的取值範圍是
答案：［1，5）
解析：由焦點在x軸上，故010.如果實數b不論取何值，直線y=kx+b與雙曲線x2-2y2=1總有公共點,那麼k的取值範圍是
答案：-解析：將y=kx+b代入x2-2y2=1,得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-1=0.(*)
當1-2k2=0即k=±時，4kbx+2b2+1=0不能使任意b∈r都有解.
∴1-2k2≠0.
∵方程（*）對b∈r恒有解，∴δ≥0，
即16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)≥0恆成立，
即8k2≤8b2+4恆成立，
∴8k2≤4,∴k2≤.
又k2≠，∴k2<,∴-實際上，畫個圖，可推出答案.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.已知橢圓c: =1(a>b>0),直線l1: =1被橢圓c截得的弦長為2，過橢圓c的右焦點且斜率為3的直線l2被橢圓c截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓c的方程.
解析：由l1被c截得的弦長為2,得
a2+b2=8
設l2：y= (x-c)，代入c的方程化簡得
（b2+3a2）x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴|x1-x2|=,
由弦長公式得,
即a2=3b2
聯立①②得a2=6,b2=2.
故c的方程為=1.
12.已知雙曲線c: =1（a>0,b>0）,b是右頂點，f是右焦點，點a在x軸的正半軸，且滿足||、||、||成等比數列，過f作雙曲線c在第
一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為p.
（1）求證：·=·；
（2）若l與雙曲線c的左、右兩支分別交於點d、e，求雙曲線c的離心率e的取值範圍.
解析：（1）l:y=- (x-c),
∴p().
由||、||、||成等比數列得a（,0）,
∴=(0
∴·=·.
（2）∴b2x2- (x-c)2=a2b2.
即(b2-)x2+2cx-(+a2b2)=0,
∴δ>0恆成立.
∴x1·x2=<0.
∴b4>a4,即b2>a2.
∴c2-a2>a2e>.
13.已知點p（2,1）在雙曲線=1，且它和雙曲線乙個焦點f的距離是1，
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點f的直線l，交雙曲線於a、b兩點，若弦長|ab|不超過4，求l的傾斜角範圍.
解析：（1）設焦點f（c,0），由題意得
（-c）2+1=1,∴c=,
則點f的座標為（,0），∴a2+b2=2
又∵p（,1）在雙曲線上，
∴=1由①②得a2=1或a2=4（捨去），
∴b2=1.
從而雙曲線方程為x2-y2=1.
(2)①當直線l斜率存在時，設l:y=k(x-)代入雙曲線方程得：
（1-k2）x2+2k2x-2k2-1=0.
|ab|2=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］=≤42.
即-2≤≤2,
解得k2≤或k2≥3.
∴-≤k≤或k≤-或k≥.
∴0≤α≤或≤α<,
<α≤或≤α<π.
②當直線l的斜率不存在時,容易驗證也滿足題意.此時傾斜角為.
∴l的傾斜角的範圍是［0
14.(2010江蘇南京一模，22)已知直線x+2y+m=0(m∈r)與拋物線c：y2=x相交於不同的兩點a，b，
（1）求實數m的取值範圍；
（2）在拋物線c上是否存在乙個定點p，對（1）中任意的m的值，都有直線pa與pb互為相反數？若存在，求出點p的座標；若不存在，試說明理由.
解析：（1）∵拋物線與直線有兩個不同的交點，
∵有兩個不同的解，
即方程y2+2y+m=0有兩個不同的解，
∴δ=4-4m>0,即m<1.
(2)設a（y12,y1）,(y22,y2),p(y02,y0),
由kab=,得y1+y2=-2,
kpa=,
kpb=，
假設在拋物線上存在定點p使得直線pa與pb的斜率互為相反數，即：,
即：2y0=-(y1+y2)=2,得y0=1.
∴存在定點p（1，1）使得直線pa與pb的斜率互為相反數.
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