1.4 整數的一些整除性質
教學目的：
1. 正確理解整數的整除、最大公因式、互素的概念。
2. 掌握整除的性質和帶餘除法定理。
3. 會求兩個數的最大公因式和判別兩個數互素。
教學內容：
1. 整除：
設a, b是兩個整數 .如果存在乙個整數d, 使得b=ad ,那麼就說a整除b（或者說b被a整除）. 用符號a | b來表示a整除b .
這時a叫做b的乙個因數 ,而b叫做a的乙個倍數. 如果a 不整除b, 那麼就記作a | b.
2. 整除的性質：
1） a | b, b | c a | c.
2） a | b, a |c a | (b + c).
3） a | b , cz a | b c .
4） a | b , cz , i =1 ,2 ,3 ,… , t a | ( bc+ ….. bt ct).
5） 每乙個整數都可以被1和 –1整除.
6） 每乙個整除a都可以被它自己和它的相反數 – a整除.
7） a | b且 b | a b=a或 b= - a .
性質是明顯的.
3 . 帶餘除法:
定理1. 4. 1 設a, b是整數且a 0,那麼存在一
對整數q和r,使得
b =a q+ r且0 r< | a |.
滿足以上條件的整數q和r是唯一確定的.
證： 令s=.因為a 0,所以s是 n乙個非空子集.
根據最小數原理 (對於n),s含有乙個最小數.也就是說,存在qz,使得r=| a |+r ,r0.如果r| a |，那麼
r = |a |+r,r 0,而
r =所以rs且 r 假設還有qr z使得b=a q+r且0 r< | a | .
於是就有a（ q - q）= r - r .如果q - q0,那麼
由此或者 r - ra ( q - q) | a.
r| a | +r| ar| a | + r| a |.
也就是說
q = q ,r = r .
定理1. 4. 1中唯一確定的整數q和r分別叫做以a除b所得的商和餘數.
4 最大公因數
設a, b是兩個整數。滿足下列條件的整數d叫做a與b的乙個最大公因數：
（i） d | a 且d | b;
（ii） 如果cz且c | a, c | b, 那麼 c | d.
一般地，設a, a2, …,an是n個整數。滿足下列條件的整數d叫做a1, a2, …,an的乙個最大公因數：
(i) d | ai, i=1, 2, …n;
(ii) 如果c z且c | ai, i=1, 2, …,n，那麼c | d.
關於任意n個整數的最大公因數，我們有
定理1.4.2 任意n(n>=2)個整數，a1 ,a2 ,…,an都有最大公因數。
如果d是的a1 ,a2 ,…,an乙個最大公因數，那麼-d也是乙個最大公因數; a1 ,a2 ,…,an的兩個最大公因數至多相差乙個符號。
證： 由最大公因數的定義和整數的基本性質，定理的後乙個論斷是明顯的。
現在證明，任意n 個整數a1 ,a2 ,…,an有最大公因數, 如果a1 = a2 =…= an = 0，那麼0顯然是a1 ,a2 ,…,an的最大公因數。
設a1 ,a2 ,…,an不全為零。我們考慮ｚ的子集
t1a1+…+tn an | tiz,1in ｝
ｉ顯然不是空集，因為對於每一i,
ai=0·a1+…+0·ai-1+0·ai+1+…+0·an i.
又因為a1 ,a2 ,…,an不全為零，所以ｉ含有非零整數。因此
i＋＝是自然數集的乙個非空子集。於是由最小數原理，i +有乙個最小數d。我們說，d就是a1 ,a2 ,…,an的乙個最大公因數。
首先，因為di+,所以d>0並且d有形式
d=t1 a1 +…+ tn an, ti z (1i).
又由帶餘除法，我們有
ai = d qi + ri, 0ri如果某一ri>0,比方說，r1>0,那麼r1 = a1-d q1 = (1-t1q1)a1-t2 q1a2-…-tn q1an i +,
而r1定理1.4.3 設d是整數a,a,…,a的乙個最大公因數。那麼存在整數t1,t2,..,tnz ,使得：
t1 a1+ t2 a2+…+ tn an = d.
證： 如果a1 = a2 =…= an = 0.那麼d = 0。
定理顯然成立。設a,a,…,a不全為零,由定理1.4.
2的證明，我們知道di。因而存在使得d = t1 a1+ t2 a2+…+ tn an
. 5互素
設a, b是兩個整數。如果（a, b）=1，那麼就說a與b互素。一般，設a,a,…,a是n個整數。如果（a,a,…,a）＝１，那麼就說這n 個整數a,a,…,a互素。
定理1.4.4 n個整數a,a,…,a互素的充分且必要的條件是存在整數
t1, t2,…, tn使得
t1 a1+ t2 a2+…+ tn an = 11)
證：如果a,a,…,a互素，那麼由定理1.4.
2立即得出等式(1)成立。反過來，如果等式(1)成立，那麼a,a,…,a的每乙個公共因數c能整除(1)式左端。所以c | 1.
因此c = ±1,即
(a,a,…,a) = 1.
乙個整數p>1叫做乙個素數，如果除去±１和± p外，沒有其它的因數。根據這個定義，如果p 是乙個素數而a是任意乙個整數，那麼或者(a, p) = p或者 (a, p) = 1。在前一情形，p | a；在後一情形，p ?
a.另外，每乙個不等於0和 ±1的整數一定可以被某一素數整除。
定理1.4.5 乙個素數如果整除兩個整數a與b的乘積，那麼它至少整除a與b中的乙個。
證：設p是乙個素數。如果p | a b但p ?
a,那麼由上面所指出的素數的性質，必定有(p, a)=1。於是由定理1.4.
4，存在整數s和t使得 s p + t a = 1
把這個等式兩端同乘以b: spb + tab = b.
左端第一項自然能被p 整除；又因為p | a b,所以左端第二項也能被整除。於是p整除。於是p整除左端兩項的和，從而p | b .
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