第四章線性方程組
4.1 消元法
教學目的：
1、掌握線性方程組的和等變換，矩陣的初等變換等概念。理解線性方程組的和等變換是同解變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應的行初等變換代替。
2、熟練地掌握用消元發解線性方程組，以及判斷線性方程組有沒有解和解的個數。
設方程組:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2;
(1am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.
1 線性方程組的初等變換:
例1 解線性方程組:
x1 + x + x=1
2) x1+ x +3 x=3
2x1+ x+5 x=2
從第一和第三方程分別減去第二個方程的倍和2倍,來消去前兩個方程中的未知量x (即把x的係數化為零).我們得到
- x1 - x= -
x1+ x+3 x=3
-2 x- x=-4
為了計算的方便,我們把第乙個方程乘以-2後,與第二個方程交換,得:
x1+ x+3x= 3
x+ x= 1
-2x- x=-4
把第二個方程的2倍加到第三個方程,來消去後一方程中的未知量x,我們得到:
x+x+3x= 3
x+ x= 1
x=-2
現在很容易求出方程組的解.從第乙個方程減去第三個方程的3倍,再從第二個方程減去第三個方程(相當於把x的值-2代入第一和第二個方程),得
x+x=9
x=3x=-2
再從第乙個方程減去第二個方程的倍(相當於把x的值3代入第乙個方程),得
x=4x=3
x=-2
這樣我們就求出了方程組(2)的解.
分析一下以上的例子,我們看到,我們對方程組施行了三種變換:
1) 交換兩個方程的位置;
2) 用乙個不等於零的數乘某乙個方程;
3) 用乙個數乘某乙個方程後加到另乙個方程.
我們把這三種變換叫做線性方程組的初等變換.
由初等代數知道,以下定理成立.
定理4.1.1 初等變換把乙個線性方程組邊為乙個與它同解的線性方程組.
2 矩陣： 利用線性方程組(1)的係數可以排成如下的乙個表:
(3),
而利用(1)的係數和常數項又可以排成下表:
(4) .
定義1 由st個數c排成乙個s行t列的表
叫作乙個s行t列（或st）矩陣。叫作這個矩陣的元素。
注意： 矩陣和行列式雖然形式上有寫類似，但有完全不同的意義。乙個行列式是一些數的代數和，而乙個矩陣僅僅是乙個表。
我們把矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的係數矩陣和
增廣矩陣。乙個線性方程組的增廣矩陣顯然完全能夠代表這個方程組，我們按照線性方程組的初等變換引入矩陣的初等變換的概念
定義2： 矩陣的行（列）初等變換指的是對乙個矩陣施行的下列變換：
1) 交換矩陣的兩行（列）;
2) 用乙個不等於零的數乘矩陣的某一行（列），即用乙個不等於零的數乘矩陣的某一行（列）的每乙個元素；
3) 用某一數乘矩陣的某一行（列）後加到另一行（列），即用某一數乘矩陣的某一剛（列）的每一元素後加到另一行（列）的對應元素上。顯然，對乙個線性方程組施行乙個初等變換，相當於對它的增廣矩陣施行乙個對應的行初等變換，，而化簡線性方程組相當於用行初等變換化簡它的增廣矩陣。因此我們將要通過化簡急診來討論化簡線性方程組的問題。
這樣作，不但討論起來比較方便，而且能夠給予我們一種方法，就乙個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次把未知量寫出。我國古數學書九章算術（至遲寫成於三世紀）中，就是用這種方法解線性方程組的。在對乙個線性方程組施行初等變換時，我們的目的是消去未知量，也就是說，把方程組的左段化簡。
因此我們先來研究，利用三種初等變換來化簡乙個線性方程組的係數矩陣的問題。在此，為了敘述方便，除了行初等變換外，我們還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種初等變換。後一種初等變換相當於交換方程組中未知量，這對於方程組的研究顯然沒有什麼影響。
在例1裡，我們曾把方程組（2）的係數矩陣
先化為然後進一步化為
對於任一線性方程組的係數矩陣來說，我們一般不能它化為這樣簡單的形式。但我們有
定理4.1.2 設a是乙個 m行n列矩陣：
a=通過行初等變換和第一種列初等變換能把a化為以下形式：
（5）r行
進而化為以下形式：
(6這裡r≥0,r≤m,r≤n,*表示矩陣的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。
證若是矩陣a的元素都等於零，那麼a已有（5）的形式。設某一不等於零。必要時交換矩陣的行和列，可以使這個元素位在矩陣的左上角。
用乘第一行，然後由其餘各行分別減去第一行的適當倍數，矩陣a化為
b=。若在b中，除第一行外，其餘各行的元素都是零，那麼b已有（5）的形式。設在b的後m-1行中有乙個元素b不為零。把b換到第二行第二列的交點的位置，然後用與上面同樣的方法，可把b化為
如此繼續下去，最後可以得出乙個形如（5）的矩陣。形如（5）的矩陣可以進一步化為形如（6）的矩陣是顯然的。我們只要由第一，第二，…，第r-1行分別減去第 r行的適當倍數，再由第
一、第二，……第 r-2行分別減去第r-1行的適當倍數，等等。
現在考察方程組（1）的增廣矩陣（4）。由定理4.1.
2，我們可以對（1）的係數矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）。對增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那麼（4）化為以下形式的矩陣：
（7）與（7）相當的線性方程組是
（80=
0=這裡i1,i2, …，in是1，2，……,n的乙個排列。由於方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.
1方程組（8）與方程組（1）有相同的解。因此要解方程組（1），只需解方程組（8）。但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出。
情形1。r情形2。r=m或r
++….+ =
(9同解。
當r=n時，方程組（9）有唯一解，就是=，t=1,2,…..,n..這這也是方程組（1）的唯一解。
當r xi1=d1-c1,r+1xir+1-…-c1nxin,
xi2=d2-c2,r+1xir+1-…-c2nxin,
（10 xir=dr-cr,r+1xir+1-…-crnxin.
於是，給予未知量,…, 以任意一組數值ki,r+1,……，ki,n,就得到（9）的乙個解：
==.這也是（1）的乙個解。由於kir+1,……， kin可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無窮多解，另一方面，由於（9）的任一解都必須滿足（10），所以（9）的全部解，即（1）的全部解都可以用上方法解得。我們常把未知量xi,r+1 ,……， xin 叫作自由變數，而把（10）叫做方程組（1）的一般解
例2 解線性方程組
5-+2+=7，
2++4-2=1，
3-6+5=0，
對增廣距陣
施行行初等變換，並注意，我們是要把其中所含的係數距陣先化為（5），再為（6），由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，把第三行換到第一行，得：
由二行減去三行的2 倍得：
雖然我們還沒把增廣化為（5）的形式，但已可看到，相當於最後的線性方程組中有乙個方程是
0=5所以原方程無解。
高代複習參考
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