第九章解析幾何
第一節直線和圓
第一部分六年高考薈萃
2023年高考題
一、選擇題:
1．(2023年高考江西卷理科9)若曲線：與曲線：有四個不同的交點，則實數m的取值範圍是
a．(，) b．(，0)∪(0，)
c．[，] d．(，)∪(，+)
解析：選b ，由題意，ac為直徑，設圓心為f，則,圓的標準方程為，故，由此，易得：，又，所以直線bd的方程為，f到bd的距離為，由此得，所以四邊形abcd的面積為
二、填空題:
1.(2023年高考安徽卷理科15)在平面直角座標系中，如果與都是整數，就稱點為整點，下列命題中正確的是寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與座標軸平行又不經過任何整點
②如果與都是無理數，則直線不經過任何整點
③直線經過無窮多個整點，當且僅當經過兩個不同的整點
④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數
⑤存在恰經過乙個整點的直線
2.(2023年高考重慶卷理科15)設圓位於拋物線與直線所組成的封閉區域（包含邊界）內，則圓的半徑能取到的最大值為
解析：。 為使圓的半徑取到最大值，顯然圓心應該在x軸上且與直線相切，設圓的半徑為，則圓的方程為，將其與聯立得：，令，並由，得：
三、解答題:
1. (2023年高考山東卷理科22)（本小題滿分14分）
已知動直線與橢圓c:交於p、q兩不同點，且△opq的面積=,其中o為座標原點.
（ⅰ）證明和均為定值;
（ⅱ）設線段pq的中點為m，求的最大值；
（ⅲ）橢圓c上是否存在點d,e,g，使得?若存在，判斷△deg的形狀；若不存在，請說明理由.
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由題意知m，將其代入，得
，綜上所述，結論成立。
（ii）解法一：
（1）當直線的斜率存在時，
由（i）知
因此 （2）當直線的斜率存在時，由（i）知
所以所以，當且僅當時，等號成立.
綜合（1）（2）得|om|·|pq|的最大值為
解法二：
由（i）得
因此d，e，g只能在這四點中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，
與矛盾，
所以橢圓c上不存在滿足條件的三點d，e，g.
2. (2023年高考廣東卷理科19)設圓c與兩圓中的乙個內切，另乙個外切.
（1）求c的圓心軌跡l的方程.
（2）已知點且p為l上動點，求的最大值及此時點p的座標.
【解析】（1）解：設c的圓心的座標為，由題設條件知
化簡得l的方程為
（2）解：過m，f的直線方程為，將其代入l的方程得
解得因t1**段mf外，t2**段mf內，故
，若p不在直線mf上，在中有
故只在t1點取得最大值2。
3．(2023年高考福建卷理科17)（本小題滿分13分）
已知直線l：y=x+m，m∈r。
（i）若以點m（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點p，且點p在y軸上，求該圓的方程；
（ii）若直線l關於x軸對稱的直線為，問直線與拋物線c：x2=4y是否相切？說明理由。
解析：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結
合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分13分。
解法一：
（i）依題意，點p的座標為（0，m）
因為，所以，
解得m=2，即點p的座標為（0，2）
從而圓的半徑
故所求圓的方程為
（ii）因為直線的方程為
所以直線的方程為
由（1）當時，直線與拋物線c相切
（2）當，那時，直線與拋物線c不相切。
綜上，當m=1時，直線與拋物線c相切；
當時，直線與拋物線c不相切。
4．(2023年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。
（1）求點到線段的距離；
（2）設是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；
（3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中
，是下列三組點中的一組。對於下列三組點只需選做一種，滿分分別是①2分，②
6分，③8分；若選擇了多於一種的情形，則按照序號較小的解答計分。
①。②。
③ 。
解：⑴ 設是線段上一點，則
，當時，。
⑵ 設線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角座標系，
則，點集由如下曲線圍成
， 其面積為。
⑶ ① 選擇，
② 選擇。
③ 選擇。
2023年高考題
一、選擇題
1.（2010江西理）8.直線與圓相交於m,n兩點，若，則k的取值範圍是
ab. cd.
【答案】a
【解析】考查直線與圓的位置關係、點到直線距離公式，重點考察數形結合的運用.
解法1：圓心的座標為（3.，2），且圓與y軸相切.當，由點到直線距離公式，解得；
解法2：數形結合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可， 不取，排除b，考慮區間不對稱，排除c，利用斜率估值，選a
2.（2010安徽文）（4）過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是
（a）x-2y-1=0 (b)x-2y+1=0 (c)2x+y-2=0 （d）x+2y-1=0
【答案】a
【解析】設直線方程為，又經過，故，所求方程為.
【方法技巧】因為所求直線與與直線x-2y-2=0平行，所以設平行直線系方程為，代入此直線所過的點的座標，得引數值，進而得直線方程.也可以用驗證法，判斷四個選項中方程哪乙個過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行.
3.（2010重慶文）（8）若直線與曲線（）有兩個不同的公共點，則實數的取值範圍為
（ab）
（cd）
【答案】d
解析：化為普通方程，表示圓，
因為直線與圓有兩個不同的交點，所以解得
法2：利用數形結合進行分析得
同理分析，可知
4.（2010重慶理）(8) 直線y=與圓心為d的圓交與a、b兩點，則直線ad與bd的傾斜角之和為
abcd.
【答案】c
解析：數形結合
由圓的性質可知
故5.（2010廣東文）
6.（2010全國卷1理）（11）已知圓o的半徑為1，pa、pb為該圓的兩條切線，a、b為兩切點，那麼的最小值為
(a) (b) (c) (d)
7.（2010安徽理）9、動點在圓上繞座標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周。已知時間時，點的座標是，則當時，動點的縱座標關於（單位：秒）的函式的單調遞增區間是
a、 b、 c、 d、和
【答案】 d
【解析】畫出圖形，設動點a與軸正方向夾角為，則時，每秒鐘旋轉，在上，在上，動點的縱座標關於都是單調遞增的。
【方法技巧】由動點在圓上繞座標原點沿逆時針方向勻速旋轉，可知與三角函式的定義類似，由12秒旋轉一周能求每秒鐘所轉的弧度，畫出單位圓，很容易看出，當t在變化時，點的縱座標關於（單位：秒）的函式的單調性的變化，從而得單調遞增區間.
二、填空題
1.（2010上海文）7.圓的圓心到直線的距離 。
【答案】3
解析：考查點到直線距離公式
圓心（1,2）到直線距離為
2.（2010湖南文）14.若不同兩點p,q的座標分別為（a，b），（3-b，3-a），則線段pq的垂直平分線l的斜率為圓（x-2）2+（y-3）2=1關於直線對稱的圓的方程為
【答案】-1
3.（2010全國卷2理）（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，．若，則兩圓圓心的距離
【答案】3
【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質，解三角形問題.
【解析】設e為ab的中點，則o，e，m，n四點共面，如圖，∵，所以，∴，由球的截面性質，有，∵，所以與全等，所以mn被oe垂直平分，在直角三角形中，由面積相等，可得，
4.（2010全國卷2文）（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，，若，則兩圓圓心的距離
【解析】3：本題考查球、直線與圓的基礎知識
∵ on=3，球半徑為4，∴小圓n的半徑為，∵小圓n中弦長ab=4，作ne垂直於ab，∴ ne=，同理可得，在直角三角形one中，∵ ne=，on=3，∴ ，∴ ，∴ mn=3
5.（2010山東文）（16） 已知圓c過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長為，則圓c的標準方程為
答案：6.（2010四川理）（14）直線與圓相交於a、b兩點，則 .
解析：方法
一、圓心為(0,0)，半徑為2
圓心到直線的距離為d＝
故 得|ab|＝2
答案：2
7.（2010天津文）（14）已知圓c的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點，且圓c與直線x+y+3=0相切。則圓c的方程為
【答案】
本題主要考查直線的引數方程，圓的方程及直線與圓的位置關係等基礎知識，屬於容易題。
令y=0得x=-1，所以直線x-y+1=0,與x軸的交點為（-1.0）
因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等於半徑，即，所以圓c的方程為
【溫馨提示】直線與圓的位置關係通常利用圓心到直線的距離或數形結合的方法求解。
8.（2010廣東理）12.已知圓心在x軸上，半徑為的圓o位於y軸左側，且與直線x+y=0相切，則圓o的方程是
12．．設圓心為，則，解得．
9.（2010四川文）(14)直線與圓相交於a、b兩點，則 .
【答案】2
解析：方法
一、圓心為(0,0)，半徑為2圓心到直線的距離為d＝故
得|ab|＝2
10.（2010山東理）
【解析】由題意，設所求的直線方程為，設圓心座標為，則由題意知：
，解得或-1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以，故圓心座標為（3，0），因為圓心（3，0）在所求的直線上，所以有，即，故所求的直線方程為。
【命題意圖】本題考查了直線的方程、點到直線的距離、直線與圓的關係，考查了同學們解決直線與圓問題的能力。
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