超靜定問題分析
典型習題解析
1 試判斷下列結構中為幾度靜不定，給出基本結構並列出相應的變形協調條件。
a b c
(a)題 1 圖
(b)(a) 解ⅰ：梁有四個約束反力，有三個有效的平衡方程，但尚有乙個條件，即在中間鉸 b 處的內力彎矩為零，故為靜定梁。 解ⅱ：
去掉任何乙個約束，該梁成為幾何可變機構，所以是 1-1＝0 度靜不定，即靜定結構。
(b) 解：圖示框架有三個約束反力，又有三個平衡方程式，故支反力是靜定的。但框架某一截面，有三個內力分量，即軸力、剪力和彎矩，是不能用靜力方程直接確定的。
所以是內力三度靜不定問題。將框架從任一截面截開，即構成基本結構。變形協調條件為截開處左右邊的軸向相對位移、橫向相對位移和相對轉角為零。
(c) 解：圖示框架有四個約束反力，只有三個有效的平衡方程，為一度外力靜不定。每個封閉圈三個未知內力，兩個封閉圈共有六個未知內力，為六度內力靜不定。
故為七度靜不定問題。基本系統為 c-2。變形協調條件共七個，分別為：
在 b 點，水平
位移 b = 0 ，在 c、d 截面，左右相對轉角為零、左右軸向相對位移為零以及左右
橫向相對位移為零。
c d
a b a b
(c-1)
題 1 圖(c)
(c-2)
(d) 解：圖示結構為一封閉的圓圈，在任意截面截開後，有三個未知內力分量，故為三
度靜不定。沿對稱軸將圓環截開，由於對稱性，軸力等於 f ，剪力等於零，只剩
2下彎矩 m 未知，故只需補充乙個變形協調條件。由於對稱，變形協調條件可取為
θ c = θ d = 0 。
f f f
m c m m dnf
(d-1)
f(d-2)
f /2
s(d-3)
f /2
題 1 圖(d)
2 試求圖示梁的支反力。
解題分析：將 b 點鉸拆開，則左右兩邊均為靜定結構。而 b 點處有二個未知內力，所以為二度靜不定問題。但是在小變形條件下，b 點軸向力較小可忽略不計。所以實際未知力只有
b 點處垂直作用力乙個。
解：1、寫出變形協調方程 a
設 b 點處垂直作用力為 fby ，其方向如圖示。
20kn/ m4mq
40 kn
b d c
2m 2m
設左半邊結構 b 點撓度為 wb1 ，右邊結構 b 點撓度為 wb 2 ，則本問題變形協調條件為
fbym a wb1
l f p
b d
wb2 c
wb1 = wb 2 。
2、計算 fby
fby題 2 圖
l/2l/2
根據疊加原理，有
q l 4
w =
fby l
b1 8ei
3eif l
f l 3
w = by + w + θ
l f l 3
= by +
p 2
b 2 3ei d
f l
d 2 3ei
3ei+ 2
× =l = fby l
+ 5fp l
2ei 2
3ei48ei
由變形協調條件 wb1 = wb 2
得 fby =
3 ql
5f=3 (20 ×103
× n/m)× 4m
5 × 40 ×10
n = 8.75 ×103 n
2 8
48 2 8
483、計算支反力
分別考慮左、右邊結構的平衡，得
fa = ql fby
= (20 ×103 n/m)× 4m 8.75 ×103 n＝71.25 ×103 n = 71.25 kn(↑)
m = 1 ql 2 f
l = 1 × 20 × 103 n/m × (4m)2 8.75 × 103 n × 4m
a 2 by 2
= 125 × 103 n m = 125kn m（逆時針）
fc = fp
+ fby
= 40 × 103 n + 8.75 × 103 n＝48.75 ×103 n = 48.75kn(↑)
l f
3m = f
+ f lp + f
l = 40
10 n + 8.75 × 103 n × 4m
c p 2
by 2
by 2
= 115 × 103 n m = 115kn m（順時針）
3 結構如圖示，設梁 ab 和 cd 的彎曲剛度 ei 相同。拉桿 bc 的拉壓剛度 ea 已知，求拉桿
bc 的軸力。 ac
解題分析：將杆 cb 移除，則 ab、cd 均為靜 a d
定結構。杆 cb 的未知軸力 fn 作用在 ab，cd a
梁上。為一度靜不定問題。
解： 1、寫出變形協調方程
a力 q、fn 作用下，b、c 點發生向下的撓度，
同時杆 cb 產生拉伸變形。三者的關係為2aq
2a題 3 圖
bfn a
ca fn
fnwb = wc + bc ，此即本問題的變形協調方程。
2、計算 cb 杆的軸力 fn
由疊加原理，得
q(2a )4
f (2a )3
b 點撓度為
wb =
8ei3
3eic 點撓度為 w
= fn a
c 3ei
杆 cb 的伸長量為
bc= fn a
ea代入變形協調方程
wb = wc + bc ，得
q(2a )4
8eif (2a)3
n3eif a 3 f a
= +
3ei ea
3解得 fn =
2qa2qa a
23 + 1
aa 2
3a a + i
4 圖示梁的右端為彈性轉動約束，設彈簧常量為 k。ab 段可視為剛性，並與梁剛性連線。
又梁的變形很小，ei 已知，試求在力 f 作用下 b
截面上的彎矩。 c
解題分析： 在力 f 作用下，梁 b 截面發生轉動，
l/2f
l/2a a
b ft
f ft
使彈簧伸長 。設彈簧拉力為 ft，彈簧對 b 截 c
面的轉動有約束。是一度靜不定問題。
解：1、寫出變形協調方程
b1 abb2
題 4 圖
設 ab 段轉角為θ b1 ，梁 cb 的 b 截面轉角為θ b 2 。由於 ab 與 b 點剛性連線，所以有
θ b1 = θ b 2 。
2、計算 ft
b 截面彎矩為
m b = ft a 。梁在 f 及 mb 的作用下，b 截面的轉角為
θ = f l
m b l =
f l 2
ft al
b 2 16ei
3ei16ei
3ei而彈簧的伸長及 b 截面轉角分別為
= ft ，θ
= = ft 。代入變形協調方程
k b1 a ka
b1 b 2
得 ft
f l 2
= ft al
或 f =
3f l 2 a k
ka 16ei
3eit 16(3ei + a 2 kl )
3、計算 b 截面彎矩
b 截面彎矩 m
= f a =
3f l
2 a 2 k
b t 16(3ei + a 2 kl)
5 試求圖示雙鉸圓拱的支座反力及中點 c 沿 f 力方向的位移，ei 為已知。
f f f c
r r
a b fbx
f/2r
fbx 1
f/2(a)
(b) (c)
題 5 圖
(d)解題分析：去掉 b 點水平位移約束，結構變為靜定結構，所以為一度外力靜不定問題。
解： 1、變形協調方程
去掉 b 點水平位移約束，用未知力 fbx 代替，得相當系統如圖 b 所示。變形協調方程為 b
點水平位移為零，即 b = 0 。
2、確定約束反力
由對稱性知， a 、 b 兩點垂直方向約束反力大小為 f ，方向向上，如圖 c 所示。
20 ≤ ≤
π 時， m ( ) = f
2 2
r(1 cos ) + fbx r sin
在相當系統中，去掉所有外力，即為基本系統。在基本系統 b 點加水平單位力，則02
m ( ) = 1 r sin
由單位載荷法，b 點水平位移（下式利用了對稱性，只對 1／4 圓積分，然後乘以 2）為
= 1
m ( )m ( )ｄs = 2
2 f r(1 cos ) + f
r sin 1 r sin rｄ
b ei ∫s
= fr
+ fbx πr
ei ∫0 2
bx2ei2ei
f由變形協調條件 b = 0 得 fbx =
πc f c 1
f/πf/π 1/π 1/π
f/2 f/2
(e)1/2
1/2題 5 圖
3、計算 c 點沿 f 力方向的位移 c
在相當系統上，有
0 ≤ ≤
π ： m ( ) = f
2 2
r(1 cos ) + f
πr sin ；
在基本系統 c 點處沿 f 力方向加單位集中力，則
0 ≤ ≤
π ： m ( ) = 1
2 2
r(1 cos ) +
1 r sin
π由單位載荷法，得
= 1
m ( )m ( )ｄs = 2
22 fr 2 1 (1 cos ) + 1 sin
rｄc ei ∫s
ei ∫ 0
fr 3 3π 2 8π 4
=ei 8π
6 結構如圖 a 所示， ac = ad = bc = bd = a ，已知各桿彎曲剛度 ei 相同。a、b 點為剛
性連線，c、d 點為鉸連線。將 c、d 點用一彈簧相連，彈簧常數為 2k。但由於彈簧短了 ，
強行相連後，在 a、b 點加力 f。試問：當 f 為多大時，彈簧回覆到其原長？
a cfa
d(a)
b f fxx
x(b)
f /2
f /2
(c)m max
題6**題分析：如果沒有彈簧，該結構為靜定的。加彈簧後，彈簧受的力未知，為一度靜不定問
題。由於彈簧短了 ，所以在加 f 力之前，彈簧已受拉力；在加 f 力過程中，c、d 兩點間產生相向位移，彈簧所受拉力不斷減小。當彈簧所受力為零時，彈簧即回覆到原長。
這時的 f 即為所求。
解：1、變形協調方程由於左右對稱，只取左半部分研究。將彈簧去掉，用彈簧所受的力的一半代替其作用，得相當系統如圖 b 所示。
設 x、f 作用下，c、d 間相對位移為 1 ，則彈簧的伸長變形與 1 之
和應該等於 。所以變形協調方程為
(2 x或
x + =
(2k ) 1 k 1
2、計算彈簧受力 x
材料力學超靜定問題彙總
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