第6講巧解新運算
巧點晴——方法和技巧
加、減、乘、除這四種運算我們熟悉，除了這四種運算外，還可以有新運算解答這個問題關鍵是理解新運算的定義，並嚴格按新運算的要求進行運算。
巧指導——例題精講
a級衝刺名校·基礎點晴
【例1】設α,b都表示數，規定α b表示α的4倍減去b的3倍，即α b=4×α－3×b。試計算5 6，6 5。
解5 6=5×4－6×3=20－18=2
6 5=6×4－5×3=24－15=9
小結例2定義的沒有交換律，計算中不得將前後的數交換。
做一做1 α* b表示α的3倍減去b的一半，例如1*2=1×3－2÷2=2。根據以上的規定，計算下列兩式。
（1）10*62）7*（4*2）
【例2】設α* b表示α的3倍減去b的2倍，即α* b=3α－2b。例如，當α=6，b=5時，6*5=3×6－2×5=8
（1）計算（5*4）*2； （２）已知χ*(4*1)=7,求χ。
分析與解這道題規定的運算的本質是：用運算符號*前面數的3倍減去它後面數的2倍即為運算結果。
（1）5*4=5×3－4×2=7
（5*4）*2=7*2
7×3－2×2
17（2）4*1=4×3－1×2=10
χ*（4*1）=χ*10
3χ－10×2
3χ－20
因為χ*（4*1）=7，所以3χ－20=7，解得χ=9。
做一做2 規定a*b=b×b＋a，計算（2*3）*（4*1）。
【例3】如果2 3=2＋3＋4，5 4=5＋6＋7＋8，請按此規律計算3 5=？
分析與解由題意知的運算方法是，從運算符號前的數開始加，每次加的數都比前面的乙個數多1，加數的個數為運算符號後面的數。
3 5=3＋4＋5＋6＋7=25
做一做3 如果3 2=3＋33=36
2 3=2＋22＋222=246
如果α b=49380，問b= 。
b級競賽培優·更上層樓
【例4】規定α b=α＋（α＋1）＋（α＋2）＋…＋（α＋b－1）,其中α，b表示自然數。
（1）求1 100的值
解 （1）原式=1＋2＋3＋…＋100
1＋100）×100÷2
5050
（2）已知χ 10=75，求χ。
（2）原式=χ＋（χ＋1）＋（χ＋2）＋…＋（χ＋9）=75
所以10χ＋（1＋2＋…＋9）=75
10χ＋45=75
10χ=30
χ=3做一做4 若3□4=3＋4＋5＋6=18，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。
（1）計算1995□5； （2）若95□χ=585，求χ。
（3）若χ□3=5973，求χ。
【例5】規定α b=4×α－3×b，已知8 （χ 1）=5，求χ。
分析與解1 先根據的規定，把8 （χ 1）化成普通算式，得到乙個關於χ的方程，再求χ。
8 （χ 1）
=4×8－3×（χ 1）
=32－3×（4×χ－3×1）
=32－3×（4χ－3）
=32－12χ＋9
=41－12χ
所以，41－12χ=5，解得χ=3。
分析與解2 分兩步來解。先把（χ 1）看做乙個數y，得到8 y=5，從中求出y;再由χ 1=y,求出χ。
把（χ 1）記作y，得到8 y=5，根據的規定，有4×8－3χy=5,即32－3y=5,得到y=9。於是有χ 1=9，即4×χ—3×1=9，得χ=3。
小結上例定義的沒有交換律，計算中不得交換前後的數。
做一做5 設α b表示α的5倍加b的3倍，即α b=5α＋3 b。例如，當α=6，b=5時，6 5=5×6＋3×5=45。
（1）計算（10 7） 3； （2）已知χ （4 1）=104，求χ。
【例6】乙個特殊的計算器上面有個「x*」鍵，當計算器上顯示的數是α時，按下「x*」鍵後，計算器上的α立刻消失並顯示乙個新數：2α＋1。現在，這個計算器上顯示的是5.
25，那麼連續按「x*」鍵
次後，會顯示99；接著再按「x*」鍵4次，計算器上顯示的數是 。
分析我們嚴格按「x*」鍵的功能來試，就可以知道是多少次了。
解 2×5.25＋1=11.5
2×11.5＋1=24
2×24＋1=49
2×49＋1=99
這時己按4次，接著再按分別顯示：
2×99＋1=199
2×199＋1=399
2×399＋1=799
2×799＋1=1599。
即按時完成次鍵，顯示99，再按4次，顯示1599。
做一做6 有a，b，c，d四種裝置，將乙個數輸入一種裝置後會輸出另乙個數。裝置a將輸入的數加上5，裝置b將輸入的數乘以2，裝置c將輸入的數減4，裝置d將輸入的數乘以3。這些裝置可以連線使用，如a·b表示數字先經a處理再經b處理。
問：（1）輸入7，經過a·b·c·d後輸出幾？
（2）乙個數經過b·c·a·d後輸出159，輸入的是幾？
c級 （選學）決勝總決賽·勇奪冠軍
【例7】如果4○4=4＋5＋6＋7=22,5○3=5＋6＋7=18,6○2=6＋7=13,而（6○2）＋（5○3）＋（4○4）=（6＋7）＋（5＋6＋7）＋（4＋5＋6＋7）=53，
那麼1○50＋2○50＋3○50＋…＋50○50的結果是多少？
分析與解我們先來看一看符號○代表什麼樣的運算。通過對已知條件的觀察可以發現：
（1）○代表的是一系列的加法運算；（2）○前面的數字就是第1個加數；（3）在加法算式**現多少個加數是由○後面的數字決定的，如5○3就表示有連續的3個數相加；（4）從第2個加數起，每乙個加數都比前乙個數大1。
這樣，我們就知道：
1○50=1＋2＋3＋…＋50=（1＋50）×50÷2=1275
2○50=2＋3＋4＋…＋51=（2＋50）×50÷2=1325
3○50=3＋4＋…＋52=（3＋50）×50÷2=1375
…50○50=50＋51＋52＋…＋99=（50＋99）×50÷2=3725
而1○50，2○50，3○50＋…＋50○50
=1275＋1325＋1375＋…＋3725
=（1275＋3725）×50÷2
=125000
小結定義新運算的關鍵就是弄清楚定義式的含義。值得注意的是，乙個新的運算子，常常不滿**換律、結合律等，不能草率地進行化簡。
做一做7 有如下規律：1！=！，2！=1×2，3！=1×2×3=6，…。
（1）計算52）若χ！=5040，求χ。
巧練習——溫故知新（六）
a級衝刺名校·基礎點晴
1.設α b=α×b＋α－b,試求5 8。
2.對於兩個數α，b，規定α△b=α＋b－1。
（1）計算（7△8）△6； （2）已知（5△χ）△χ=84，求χ。
3.對於兩個數χ，y,規定χ⊙y=y×a－χ×2,並且已知82⊙65=31，計算：
（1）29⊙572）38⊙（14⊙23）
4.對於兩個數α，b, α△b表示α除以b的商與餘數的和。例如，4△3=2，2△3=2。
（1）計算1999△62）計算（188△3）8；
（3）χ△18=7，且χ為80至100之間的自然數，求χ的值。
5.已知：1*6=1×2×3×4×5×6，6*5=6×7×8×9×10。
按此規定，計算（2*5）÷（6*4）。
6.我們規定符號○表示選擇兩數中較大數的運算，符號○表示選擇兩數中較小數的運算，例如5○3=3○5=5，5○3=3○5=3，試計算：
[(0.6○0.8)＋(3○3.1)]×[(2.1○2.11)－(0.21○2.10)]
b級培優競賽·更上層樓
7.規定α b且5 6=6 5，求2 1－1 2的值。
8.規定一種運算符號○：對於任意兩個不相等的自然數α和b，較大的數除以較小的數，餘數記為α○b。問6○（1994○2010）是多少？
9.規定α△b=4×α＋3×b＋1，問：
（1）5△7和7△5的值相等嗎？
（2）對於兩個自然數α和b，若α△b=b△α，那麼α和b有什麼關係？
（3）運算△有交換律嗎？
10. α*b=3×α＋2×b，若8*（χ*2）=50，求χ的值。
c級 （選學）決勝總決賽·勇奪冠軍
11.羊和狼在一起時，狼要吃掉羊。所以關於羊和狼，我們規定一種運算，用符號△表示：
羊△羊=羊羊△狼=狼子野心狼△羊=狼狼△狼=狼
這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。
小朋友總是希望羊能戰勝狼，所以我們規定另一種運算，用符號☆表示：
羊☆羊=羊羊☆狼=羊狼☆羊=羊狼☆狼=狼
這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由於羊能戰勝狼，當狼和羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊子。
對羊或狼，可以用上面的運算做混合運算，混合運算的法則是從左到右，括號內先算。運算的結果或者是羊，或者是狼。求下式的結果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）。
12.規定：6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。
13.定義運算α△b=α×（α－1）×（α×2）×…×（α－b＋1），計算3△2△4。
14.若的意義通常相同，而式子中的數字卻不是原來的數字，試問下面的4個算式：
（1）8×7=82）7×7×7=6
（3）（7＋8＋3）×9=394）3×3=3
應該是我們通常的哪四個算式？
四年級數學培優補差措施
一 班級基本情況 我們班共有40人，男生15人，女生25人。本班兩極分化較嚴 重。比較好的如 童璐 張風雨 徐婷婷 許曉雪 倪行 盧雅茹 李捷等同學，他們學習積極性高，上課愛動腦筋，善於思考問題，踴躍 發言。對他們進行重點培養，對於一些難度大的問題幫助他們理解，提出新要求，多鼓勵他們讀一些課外書，開...
四年級數學培優補差計畫
五畝中心小學 王社功王社功 為順利完成本學年的教學任務，提高本學期的教育教學質量，根據我班學生的實際情況，圍繞教學目標，除了認真備課 上課 批改作業 定期評定學生成績 優質完成每一節課的教學外，應採取課內外培優措施，制定培優計畫，以高度的責任心投入到緊張的教學及培優補差工作中，力爭取得好成績。一.思...
四年級數學下冊培優題
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