高考數學中塗色問題的常見解法及策略
與塗色問題有關的試題新穎有趣,近年已經在高考題**現,其中包含著豐富的數學思想。解決塗色問題方法技巧性強且靈活多變,因而這類問題有利於培養學生的創新思維能力、分析問題與觀察問題的能力,有利於開發學生的智力。本文擬總結塗色問題的常見型別及求解方法
一、 區域塗色問題
1、 根據分步計數原理,對各個區域分步塗色,這是處理染色問題的基本方法。
例1、 用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分塗色,每部分只塗一種顏色,相鄰部分塗不同顏色,則不同的塗色方法有多少種?
分析:先給①號區域塗色有5種方法,再給②號塗色有4種方法,接著給③號塗色方法有3種,由於④號與①、②不相鄰,因此④號有4種塗法,根據分步計數原理,不同的塗色方法有
2、 根據共用了多少種顏色討論,分別計算出各種出各種情形的種數,再用加法原理求出不同的塗色方法種數。
例2、四種不同的顏色塗在如圖所示的6個區域,且相鄰兩個區域不能同色。
分析:依題意只能選用4種顏色,要分四類:
(1)②與⑤同色、④與⑥同色,則有;
(2)③與⑤同色、④與⑥同色,則有;
(3)②與⑤同色、③與⑥同色,則有;
(4)③與⑤同色、② 與④同色,則有;(5)②與④同色、③與⑥同色,則有;
所以根據加法原理得塗色方法總數為5=120
例3、如圖所示,乙個地區分為5個行政區域,現給地圖著色,要求相鄰區域不得使用同一顏色,現有4種顏色可供選擇,則不同的著方法共有多少種?
分析:依題意至少要用3種顏色
1) 當先用三種顏色時,區域2與4必須同色,
2) 區域3與5必須同色,故有種;
3) 當用四種顏色時,若區域2與4同色,
4) 則區域3與5不同色,有種;若區域3與5同色,則區域2與4不同色,有種,故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=72
3、 根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論,從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手,分別計算出兩種情形的種數,再用加法原理求出不同塗色方法總數。
例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色塗在如圖所示的四個區域內,每個區域塗一種顏色,相鄰兩個區域塗不同的顏色,如果顏色可以反覆使用,共有多少種不同的塗色方法?
分析:可把問題分為三類:
(1) 四格塗不同的顏色,方法種數為;
(2) 有且僅兩個區域相同的顏色,即只
有一組對角小方格塗相同的顏色,塗法種數為
;5) 兩組對角小方格分別塗相同的顏色,塗法種數為,
因此,所求的塗法種數為
4、 根據相間區使用顏色的種類分類
例5如圖, 6個扇形區域a、b、c、d、e、f,現給這6個區域著色,要求同一區域塗同一種顏色,相鄰的兩個區域不得使用同一種顏色,現有4種不同的顏色可解(1)當相間區域a、c、e著同一種顏色時,
有4種著色方法,此時,b、d、f各有3種著色方法,
此時,b、d、f各有3種著色方法故有
種方法。
(2)當相間區域a、c、e著色兩不同的顏色時,有種著色方法,此時b、d、f有種著色方法,故共有種著色方法。
(3)當相間區域a、c、e著三種不同的顏色時有種著色方法,此時b、d、f各有2種著色方法。此時共有種方法。
故總計有108+432+192=732種方法。
說明:關於扇形區域區域塗色問題還可以用數列中的遞推公來解決。
如:如圖,把乙個圓分成個扇形,每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色,要求相鄰扇形不同色,有多少種染色方法?
解:設分成n個扇形時染色方法為種
(1) 當n=2時、有=12種,即=12
(2) 當分成n個扇形,如圖,與不同色,與不同色,,
與不同色,共有種染色方法, 但由於與鄰,所以應排除與同色的情形;與同色時,可把、看成乙個扇形,與前個扇形加在一起為個扇形,此時有種染色法,故有如下遞推關係:
二、 點的塗色問題
方法有:(1)可根據共用了多少種顏色分類討論,(2)根據相對頂點是否同色分類討論,(3)將空間問題平面化,轉化成區域塗色問題。
例6、將乙個四稜錐的每個頂點染上一種顏色,並使同一條稜的兩端點異色,如果只有5種顏色可供使用,那麼不同的染色方法的總數是多少?
解法一:滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。
(1)若恰用三種顏色,可先從五種顏色中任選一種染頂點s,再從餘下的四種顏色中任選兩種塗a、b、c、d四點,此時只能a與c、b與d分別同色,故有種方法。
(2)若恰用四種顏色染色,可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點s,再從餘下的四種顏色中任選兩種染a與b,由於a、b顏色可以交換,故有種染法;再從餘下的兩種顏色中任選一種染d或c,而d與c,而d與c中另乙個只需染與其相對頂點同色即可,故有種方法。
(3)若恰用五種顏色染色,有種染色法
綜上所知,滿足題意的染色方法數為60+240+120=420種。
解法二:設想染色按s—a—b—c—d的順序進行,對s、a、b染色,有種染色方法。
由於c點的顏色可能與a同色或不同色,這影響到d點顏色的選取方法數,故分類討論:
c與a同色時(此時c對顏色的選取方法唯一),d應與a(c)、s不同色,有3種選擇;c與a不同色時,c有2種選擇的顏色,d也有2種顏色可供選擇,從而對c、d染色有種染色方法。
由乘法原理,總的染色方法是
解法三:可把這個問題轉化成相鄰區域不同色問題:如圖,
對這五個區域用5種顏色塗色,有多少種不同的塗色方法?
解答略。
三、 線段塗色問題
對線段塗色問題,要注意對各條線段依次塗色,主要方法有:
1) 根據共用了多少顏色分類討論
2) 根據相對線段是否同色分類討論。
例7、用紅、黃、藍、白四種顏色塗矩形abcd的四條邊,每條邊只塗一種顏色 ,且使相鄰兩邊塗不同的顏色,如果顏色可以反覆使用,共有多少種不同的塗色方法?
解法一:(1)使用四顏色共有種
(2)使用三種顏色塗色,則必須將一組對邊染成同色,故有種,
(3)使用二種顏色時,則兩組對邊必須分別同色,有種
因此,所求的染色方法數為種
解法二:塗色按ab-bc-cd-da的順序進行,對ab、bc塗色有種塗色方法。
由於cd的顏色可能與ab同色或不同色,這影響到da顏色的選取方法數,故分類討論:
當cd與ab同色時,這時cd對顏色的選取方法唯一,則da有3種顏色可供選擇cd與ab不同色時,cd有兩種可供選擇的顏色,da也有兩種可供選擇的顏色,從而對cd、da塗色有種塗色方法。
由乘法原理,總的塗色方法數為種
例8、用六種顏色給正四面體的每條稜染色,要求每條稜隻染一種顏色且共頂點的稜塗不同的顏色,問有多少種不同的塗色方法?
解:(1)若恰用三種顏色塗色,則每組對稜必須塗同一顏色,而這三組間的顏色不同,
故有種方法。
(2)若恰用四種顏色塗色,則三組對稜中有二組對稜的組內對稜塗同色,但組與組之間不同色,故有種方法。
(3)若恰用五種顏色塗色,則三組對稜中有一組對稜塗同一種顏色,故有種方法。
(4)若恰用六種顏色塗色,則有種不同的方法。
綜上,滿足題意的總的染色方法數為種。
四、 面塗色問題
例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色,將乙個正方體的6個面塗色,每兩個具有公共稜的面塗成不同的顏色,則不同的塗色方案共有多少種?
分析:顯然,至少需要3三種顏色,由於有多種不同情況,仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論
解:根據共用多少種不同的顏色分類討論
(1)用了六種顏色,確定某種顏色所塗面為下底面,則上底顏色可有5種選擇,在上、下底已塗好後,再確定其餘4種顏色中的某一種所塗面為左側面,則其餘3個面有3!種塗色方案,根據乘法原理
(2)共用五種顏色,選定五種顏色有種方法,必有兩面同色(必為相對面),確定為上、下底面,其顏色可有5種選擇,再確定一種顏色為左側面,此時的方法數取決於右側面的顏色,有3種選擇(前後面可通過翻轉交換)
;(3)共用四種顏色,仿上分析可得
;(4)共用三種顏色,
例10、四稜錐,用4種不同的顏色塗在四稜錐的各個面上,要求相鄰不同色,有多少種塗法?
解:這種面的塗色問題可轉化為區域塗色問題,如右圖,區域1、2、3、4相當於四個側面,區域5相當於底面;根據共用顏色多少分類:
(1) 最少要用3種顏色,即1與3同色、2與4同色,此時有種;
(2) 當用4種顏色時,1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色,此時有;
故滿足題意總的塗色方法總方法交總數為
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