green公式、stokes公式、gauss公式在專業學科中的應用
摘要格林（green）公式，斯托克斯（stokes）公式和高斯（gauss）公式是多元函式積分學中的三個基本公式，它們分別建立了曲線積分與二重積分、曲面積分與三重積分、曲線積分和曲面積分的聯絡。它們建立了向量的散度與通量、旋度與環量之間的關係，除了在數學上應用於計算多元函式積分，在其他領域也有很多重要的應用。本文將主要從這三個公式與物理學之間的聯絡展開介紹它們的其他應用，其中包括應用於gps面積測量儀，確定外部擾動重力場，應用於保守場以及推證阿基公尺德定律和高斯定理等，幫助人們加深對格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，從而能夠更準確地應用此三個公式。
關鍵詞：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度應用
目錄一、引言 1
二、格林（green）公式的應用 1
（一）格林公式的定義 1
1、單連通區域的概念 1
2、區域的邊界曲線的正向規定 1
3、陳述 1
(二)格林公式的物理原型 1
1、物理原型 2
2、計算方法 2
（三）格林公式與gps面積測量儀 3
1.應用曲線積分計算平面區域面積 3
面積測量儀的數學原理 4
3.實驗結果 5
4.進一步討論 5
（四）應用格林積分直接以地面邊值確定外部擾動重力場 6
1.擾動重力位的地面邊值問題 6
2.地面邊值問題的格林公式表示 6
三、stokes公式的應用 8
（一）stokes公式簡介 8
（二）環量與環量密度 9
（三）環量的應用 9
1.開爾文定理 9
2.開爾文定理的推論 10
3.公升力 10
（四）旋度 11
（五）旋度的應用 12
1. 平面向量場的旋度 12
2.環流量是區域內有無漩渦的量度 12
3.旋度是向量場某點漩渦強度的量度 13
4.空間向量場的旋度 13
四、gauss公式的應用 16
1、數學中的高斯公式 16
2、保守場的推導 17
3、高斯公式在電場中的運用 17
4、高斯定理在萬有引力場中的應用 19
5.高斯公式推證阿基公尺德浮力定律 21
6.高斯公式推證靜電場中的高斯定理 22
7.高斯公式與散度 24
五、結語 25
六、參考文獻 26
一、引言
格林（green）公式，斯托克斯（stokes）公和高斯（gauss）公式是多元函式積分學中的三個基本公式，它們分別建立了曲線積分與二重積分、曲面積分與三重積分、曲線積分和曲面積分的聯絡。它們有很強的物理意義即建立了向量的散度與通量、旋度與環量之間的關係，因此它們有許多重要的應用，在數學上它們主要用來簡化某些多元函式積分的運算，而在其他各個專業領域它們也有很多重要的應用。接下來將一一介紹它們在不同專業中的應用。
二、格林（green）公式的應用
（1）格林公式的定義
green公式反映了第二型平面線積分與二重積分的聯絡。
設d為平面區域，如果d內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於d，則d稱為平面單連通區域；否則稱為復連通區域.
通俗地講，單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.
設l是平面區域d的邊界曲線，規定l的正向為：當觀察者沿的這個方向行走時，平面區域(也就是上面的d)內位於他附近的那一部分總在他的左邊.
簡言之：區域的邊界曲線的正向應符合條件：人沿曲線走，區域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。
設閉區域d由分段光滑的曲線l圍成，函式在d上具有一階連續偏導數，則有
其中l是d的取正向的邊界曲線.公式⑴叫做格林(green）公式.格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡，因此其應用十分地廣泛[1].
(二)格林公式的物理原型
在工科的「高等數學」教材中,格林公式這部分都是先給出定理,然後加以證明、應用。講這部分內容時,總有學生詢問同一問題,即人們怎樣想到這個公式,怎樣想到曲線積分與重積分會有這樣的數值上的聯絡?能否將格林公式的**即物理原型加入教材呢?
在教學中,試著加入這部分內容，並對公式作了簡單的符號記法,簡化了公式,降底了出錯率,並對應用總結了幾個型別。多年的實踐證明,效果是很好的,下面就將加入的內容介紹如下[2]:
1、物理原型
在流體物理學中,稱滿足下述三個條件的「流速場」為「平面穩定流動」。
（1）場中每一點的速度都不隨時間改變,只是位t的函式即
（2）所論流體介於兩個互相平行的平面之間(為方便,不妨設平面間距離為l 個單位)其中之一稱為底面(往往底面即為xoy座標面)。
（3）垂宜於底面的直線上的各點流速相等, 並平行於底面。
在這種「平面穩定流動」中,我們來計算單位時間內流過曲線c的流體體積即流t 密度( 其實是流過以c 為準線、高為l 的柱體的流體體積; 簡單用面積表示) 其中c 是平面上乙個閉的、無重點, 光滑曲線。無重點, 是指曲線,當總是相異的。
2、計算方法
（1）在c上任取一小段弧線△s,在△t時間內流過△s的流體面積,近似於乙個平行四邊形的面積,它的乙個邊長是△s另乙個相鄰邊長是流程
因此面積為
其中是c的單位法向量
單位時間內流體面積為：
由曲線積分定義有總的流體面
則設為點(x,y)處的切線，與x軸夾角
（2）的計算可以從另乙個角度來計算,那就是先算出流過場內每乙個微dxdy在單位時間內散發出去的流體的面積，然後求其總和。
設上述曲線c所圍平面區城為g,在g內任取乙個微元dxdy
顯然在單位時間內從左邊流進(x軸方向)這個微元的流體面積近似於pdy ,而從右邊流出的面積近似於（為偏增量的近似)。因此這個微元在單位時間內沿x方向(淨)散發出去流體面積近似於。同理沿y方向（淨）散出去的流體面積近似於，所以總的和為
由重積分的定義得：
有（1）、（2）可得：
這是場論中最根本的公式，即格林公式的原型。
（三）格林公式與gps面積測量儀
格林公式作為多元微積分中聯絡平面曲線積分與二重積分的乙個重要公式，不僅給出了乙個有效計算平面曲線積分的方法，而且給出了一種已知邊界曲線方程的平面區域面積的計算方法．在這部分的教學內容中，傳統應用主要侷限於純幾何與物理問題的解決，很少應用於生活實際問題的討論．本文在基於微元法的基礎上，討論了gps面積測量儀測量平面區域面積的數學原理，並在教學實踐中，將其以引入性問題和課程探索性實驗的形式作為曲線積分教學內容的擴充，實現了抽象的數學理論與方法和生活實際的有效結合[3]．
1.應用曲線積分計算平面區域面積
設d為xoy平面上的閉區域，其邊界d由光滑或分段光滑閉曲線組成，函式p(x，y)和q（x，y）在d上有連續的一階偏導數，則有
(1)其中d的方向為關於區域d的正方向．曲線正方向的確定使用「左手法則」，即當乙個人沿著該方向行走的時候，區域位於左手一側．式(1)對於平面單連通區域或多連通區域都成立．
噹式(1)中的二重積分被積函式為常數時，可以使用左端關於座標的曲線積分計算封閉曲線圍成的平面區域的面積．即若
則有（2）
因此，只要構造合適的p(x, y)和q(x，y)，就可以通過封閉曲線d上的第二類曲線積分計算其圍成的平面區域d的面積．則
（3）面積測量儀的數學原理
利用格林公式或二重積分方法計算平面區域的面積時，一般需要知道其邊界曲線方程，而在實際生活中，這樣的邊界曲線方程是很難知道的，因此無法直接使用它們來完成對面積的精確計算．gps面積測量儀則給出了比較好的平面區域面積的近似計算方法．只要手持測量儀繞行測量區域一周．儀器就可以通過自動記錄行進路線的座標，計算所圍繞區域的近似面積．
設由邊界曲線3d圍成的區域和使用gps測量儀記錄的平面座標為
圖1 目標區域與記錄點位置
由式(2)可知，在閉曲線方程已知的情況下，對其圍成的封閉區域面積的計算可以轉換為曲線積分計算．假設閉曲線方程未知，則根據積分的存在性，借助於微元法思想，封閉曲線可以近似為由有向線段的並，其中其中，即 (4)
從而有（5）
其中，.
3.實驗結果
下面以引數方程
x=4sint-sin4t （6）
y=4cost-cos4t
確定的封閉曲線為例，在mathematica中進行數學實驗驗證。
由於該封閉曲線方程已知，所以由公式(3)，利用第二類曲線積分的直接計算方法，可得所圍封閉區域面積為20π≈62．832．取引數增量分別為依次在曲線上取點，計算得到的結果分別為53．196，60．086，62．122，62．653，62．830．若取p(x, y)=-y，q(x, y)=0,或者p(x, y)=0,q(x, y)=x雖然在近似計算形式上看似有所差別，但是在
mathematica中以預設精度進行計算時，每個結果可以保持在小數點後13位一直相同，並且隨著分割的細化，結果逼近直接計算得到的精確結果。
4.進一步討論
使用邊界點座標方法計算區域的面積還有借助於微元法思想和辛普森公式容易驗證的公式．對任乙個平面凸區域d(即過該區域能做一組與區域邊界曲線交點不多於兩個的平行直線的區域)，設正好夾住平面區域的兩平行直線的距離為b．在兩平行直線之間做n-2(偶數)條距離為b/n，平行於這兩條直線的一組直線，各條直線夾在閉曲線d圍成的區域d範圍內的線段長度記作 (i=1,2，，n-1)。
考研數學 高數重要公式總結 高斯公式
師資力量 師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限 輔導經驗 歷年輔導效果 學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然後選擇。判斷師資力量關鍵在於綜合實力，因為任何一門課程，都不是由 一 兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景 資料著述成就 輔導成就...
高等數學10 3 2格林公式及其應用 2
章節題目 第三節格林公式及其應用 2 曲線積分與路徑無關的定義 條件二元函式的全微分求積 內容提要 曲線積分與路徑無關的判定全微分函式的計算重點分析 積分與路徑無關的四個等價命題難點分析 習題布置 p1844 3 5 單 6 單 備註1 教學內容 一 曲線積分與路徑無關的定義如果在區域g內有yl1 ...
財務分析公式大全財務公式
頂樓發表於 2010 11 10 10 30 只看該作者 倒序看帖 列印 註冊友商會員，免費使 試 用金蝶旗下9款財務軟體！質量成本總額 內部故障成本總額 外部故障成本總額 鑑別成本總額 預防成本總額 質量成本率 質量成本總額 企業總產值 產值質量成本率 質量成本總額 企業總產值 銷售質量成本率 質...