線性代數培訓之收穫
——對「克萊姆法則」的乙個新教案
有幸參加國家線性代數精品課程的培訓，聆聽李尚志老師的教誨，真是受益匪淺，感觸很多。***對數學的高深領悟，「空間為體，矩陣為用」，獨創性的設計了線性代數新的教學內容體系，淋漓盡致的體現了代數與幾何的內在聯絡，使人耳目一新。***的啟發式教學方法也是值得我們學習和借鑑，以問題為驅動，引入新概念，使學生對抽象的數學概念（如n階行列式、線性相關、線性無關、方程的秩等）有了形象的、感性的、更簡潔、更深刻的理解.
特別是用幾何方法引入二階行列式和三階行列式，而且賦於其幾何含義：二階行列式和三階行列式分別表示平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積，更一般n階行列式在幾何上表示「n維體的有向體積」,這樣可以發揮學生的想象力，引導學生去發現更多，引導學生去發現數學定理，充分培養學生的創造性思維能力，一切是為了學生的發展，正如***所說評價教學的效果主要是看學生懂了沒有，體現了以學生為本的教學理念。
對比本人對線性代數的理解以及教學實際，真是差距很大，覺得自己需要努力去奮鬥。這裡就結合這次培訓的體會和收穫聯絡自己以往的線性代數教學實際，擬寫乙份教案，談談自己對「克萊姆法則」內容新的處理方式。
7克萊姆法則
一、教學內容
(1) 克萊姆法則的證明
(2) 克萊姆法則的應用
二、教學要求
（1）理解克萊姆法則的證明
（2）理解非齊次線性方程組有唯一解的充分條件是它的係數行列式d≠0;若d=0，方程組無解或有無窮多解
（3）理解齊次線性方程組有非零解的必要條件是它的係數行列式d=0；若d≠0，方程組只有零解
教學過程
一、（定理1）克萊姆法則
若n×n線性方程組
的係數行列式
d=則方程組有唯一解：x=x=,x
其中d (i=1,2, ,n)是把係數行列式d中的第i列的元素用方程組右端的常數項代替後所得到的n 階行列式，即
d=.證：先證明式是方程組的解.
要證式是方程組的解，只需把它代入方程組的第i個方程，如果左端也等於bi ，則說明確是方程組的解.
將代入方程組的第i個方程的左端，並把d按照第i列展開，
第i個方程的左端=a+a++a
= (ad+ad++ad)
= [ a (ba11+b2a21++biai1++bnan1)+
ai2 (ba12+b2a22++biai2++bnan2)+
ain(ba1n+b2a2n++biain++bnann)]
= [b1(ai1a11+ai2a12++aina1n)+
b2(ai1a21+ai2a22++aina2n)+
bi (ai1ai1+ai2ai2++ainain)+
bn(ai1an1+ai2an2++ainann)]
根據行列式按行展開法則，可以看出，上面最後一式的方括中只有bi的係數是d ，而其他bk(k≠i)的係數都是零，從而第i個方程的左端=a+a++abi d）=bi =第i個方程的右端i=1,2, ,n.
故確是方程組的解.
再證明解的唯一性.
若方程組還有乙個解：
x1=c1 , x2=c2 , , xn=cn
只要證明與相同即可.
將代入方程組，得
現在構造乙個新的行列式
c1 d=（即在d的第1列乘以c1）
給此行列式的第2，3，，n 列分別乘以c2，c3, ,，cn後都加到第1列，得
c1d=
根據式，得
c1d==d1, 因為 d≠0,所以 c1=.
同理可證，c2=, , cn=.
唯一性得證.
（說明：我們學校現使用同濟大學數學教研室編《工程數學：線性代數（第三版）》，其中克萊姆法則的證明（現略）,筆者認為，有以下幾點值得商榷和改進：
一是先證明解的唯一性，後驗證解的存在性，是否符合思維邏輯？因為沒有解的存在性這個前提，怎麼談解的唯一性？二是在解的唯一性的證明中所用的技巧很強與前面行列式的性質聯絡不夠，教學實踐也證明學生難以理解，而且不具備數學中證明很多「唯一性」問題的一般方法.
因為乙個好的方法應是一般性的、具有「以不變應萬變」的功效，而且應充分利用學生已知的知識，化未知為已知，這是非常重要的數學思想方法。
基於以上想法，，本文給出克萊姆法則的乙個簡捷的證明. 先證明了解的存在性，再證明了解的唯一性，在證明中充分應用了行列式的性質和行列式的展開定理，學生容易理解，而且具有一定意義的數學教育價值.
另外，不足之處是，能否象***所說引導學生去自然而然的發現這個定理，而不是一開始直接給出這個定理，再去證明，本人目前還沒有好的方法，有待繼續考慮。）
例1 解線性方程組（現略）
（說明：這是乙個含有4個未知數4個方程的非齊次線性方程組，其目的是熟悉克萊姆法則的內容和直接的、簡單的應用，也使學生對克萊姆法則從一般到特殊有感性的認識，加深學生對克萊姆法則的理解和應用。）
定理1的逆否定理為：
定理1ˊ若線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的係數行列式d=0
二、齊次線性方程組的克萊姆法則
若線性方程組（1）中的所有的常數項全為0，即b1=b2=…=bn=0, 若線性方程組（1）稱為齊次線性方程組。
事實1：齊次線性方程組必有解，如x1=x2=…xn=0一定是它的解。這個解稱為它的零解。如果有一組不全為0的數是它的解，則這個解稱為它的非零解。
事實2：若齊次線性方程組有乙個非零解，則它有無窮多解。
（說明：這2個事實不難證明，它們在後續的學習中反覆遇到，而且可以以不同的形式出現：如零向量可以用任意一組向量線性表示，特別是事實2為後續學習齊次線性方程組的解的結構設下伏筆，正如***所說很多內容事實上是一回事，只是表現形式不同而已，這裡講透了以後可以少講，這樣使得學生精裝上陣，減輕學生頭腦的負擔，先將書由薄讀厚，再由厚讀薄。
）定理2 若n×n齊次線性方程組的係數行列式d≠0，則此齊次線性方程組只有零解。
定理2的逆否定理為：
定理2ˊ若n×n齊次線性方程組有非零解，則它的係數行列式d=0。
證：用反證法。
假設d≠0，則由克萊姆法則可知該齊次線性方程組線性方程組有唯一解x=x=,x=。而d1=d2=…dn=0,因此唯一解是零解，這與有非零解相矛盾。故d=0。
注1：定理2ˊ的逆命題也成立，即若n×n齊次線性方程組的係數行列式d=0，則它一定有非零解。（第三章證明）
注2：關於更一般的m×n線性方程組的情況在本書第三章討論。
例2 設齊次線性方程組有非零解，問取何值？
解由定理2ˊ可知，若齊次線性方程組有非零解，則它的係數行列式d=0，
即d==
==0 從而得或或。
（說明：齊次線性方程組的情形是線性方程組的特例，從而定理2和定理2ˊ分別是定理1和定理1ˊ的特例，分別由定理1和定理1ˊ演繹得到。數學教學中，歸納和演繹無處不在，我們要給學生強調一般化和特殊化的關係，這容易被忽視。
特別是定理2ˊ的逆命題我們還沒有證明，所以這裡的例2是將原例題改變而成，原例題是問取何值時，此齊次線性方程組有非零解。這樣，更符合邏輯，好讓學生懂數學，讓學生更好的掌握知識。因為李教授說我們不但要教數學，也要教學生，不但要懂數學，更要懂學生。
）蘭州交通大學李興東
2007，11，22
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