2023年全國各省（市）高考真題數學（理）
分類彙編與解析
（四）立體幾何
（黑龍江
1.（2013安徽卷19題）（本小題滿分13分）
如圖，圓錐頂點為。底面圓心為，其母線與底面所成的角
為22.5°。和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為60°，
（ⅰ）證明：平面與平面的交線平行於底面；
（ⅱ）求。
【解析】 （ⅰ） .
所以,（2）..
.2.（2013北京卷17題）(本小題共13分)
如圖，在三稜柱中，是邊長為的正方形。平面平面，，。
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值；
（ⅲ）證明：**段上存在點，使得，並求的值
3.（2013福建卷19題）（本小題滿分13分）
如圖，在四稜柱中，側稜，，，，，， ．
（1）求證：
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；
（3）現將與四稜柱形狀和大小完全相同的兩個四稜柱拼接成乙個新的稜柱，規定：若拼接成的新的四稜柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案．問：共有幾種不同的方案？
在這些拼接成的新四稜柱中，記其中最小的表面積為，寫出的表示式（直接寫出答案，不必要說明理由
本小題主要考查直線與直線．直線與平面的位置關係．柱體的概念及表面積等基礎知識，考查空間想象能力．推理論證能力．運算求解能力，考查數形結合思想．分類與整合思想．化歸與轉化思想，滿分13分．
解：（ⅰ）取中點，連線
四邊形為平行四邊形且
在中，,即，又，所以
平面，平面
，又，平面
（ⅱ）以為原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角座標系，，，
所以，，
設平面的法向量，則由
得取，得
設與平面所成角為，則
，解得．故所求的值為1
（ⅲ）共有種不同的方案
4.（2013廣東卷18題）．（本小題滿分14分）
如圖1,在等腰直角三角形中, , ,分別是上的點, ,
為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四稜錐,其中.
(ⅰ) 證明:平面；
(ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(ⅰ) 在圖1中,易得
鏈結,在中,由餘弦定理可得
由翻摺不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.
(ⅱ) 傳統法:過作交的延長線於,鏈結,
因為平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結合圖1可知,為中點,故,從而
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點為原點,建立空間直角座標系如圖所示,
則, ,
所以,設為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(ⅰ) 知,為平面的乙個法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
5.（2013廣西卷19題）．（本小題滿分12分）
如圖，四稜錐都是等邊三角形.
（）證明：
（）求二面角
6.（2013全國新課標二卷18題）（本小題滿分12分）
如圖，直稜柱abc-a1b1c1中，d，e分別是ab，bb1的中點，
aa1=ac=cb=ab。
（ⅰ）證明：bc1//平面a1cd
（ⅱ）求二面角d-a1c-e的正弦值
7.（2023年河南山西河北卷18）（本小題滿分共12分）
如圖，三稜柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，∠ba a1=60°.
（ⅰ）證明ab⊥a1c;
（ⅱ）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值。
【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質及線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題.
【解析】（ⅰ）取ab中點e，鏈結ce，，，
∵ab=， =，∴是正三角形，
∴⊥ab， ∵ca=cb， ∴ce⊥ab， ∵=e，∴ab⊥面，
∴ab6分
（ⅱ）由（ⅰ）知ec⊥ab，⊥ab，
又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab，∴ec⊥面，∴ec⊥，
∴ea，ec，兩兩相互垂直，以e為座標原點，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示空間直角座標系，
有題設知a(1,0,0), (0, ,0),c(0,0,),b(－1,0,0),則（1,0，）==(－1,0,)=(09分
設=是平面的法向量，
則，即，可取=（，1，-1），
∴=，∴直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值為. 12分
8.（2013湖北卷19題）
如圖，是圓的直徑，點是圓上異於的點，直線平面，，分別是，的中點。
（）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關係，並加以證明；
（）設（）中的直線與圓的另乙個交點為，且點滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。
【解析與答案】（），，
又（）連線df，用幾何方法很快就可以得到求證。（這一題用幾何方法較快，向量的方法很麻煩，特別是用向量不能方便的表示角的正弦。個人認為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差。）
9.（2023年湖南卷19題）（本小題滿分12分）如圖5，
在直稜柱
10.（2023年江蘇卷16題）．（本小題滿分14分）
如圖，在三稜錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點分別是稜
的中點．
求證：（1）平面平面；
（2）．
證：（1）因為sa＝ab且af⊥sb，
所以f為sb的中點．
又e，g分別為sa，sc的中點，
所以，ef∥ab，eg∥ac．
又ab∩ac＝a，ab面sbc，ac面abc，
所以，平面平面．
（2）因為平面sab⊥平面sbc，平面sab∩平面sbc＝bc，
af平面asb，af⊥sb．所以，af⊥平面sbc．
又bc平面sbc，所以，af⊥bc．
又ab⊥bc，af∩ab＝a，所以，bc⊥平面sab．
又sa平面sab，所以，．
11.（2023年江西卷19題）. (本題滿分分12分)如圖，四稜錐中， ，連線並延長交於.
(1) 求證：；
(2) 求平面與平面的夾角的余弦值.
12.（2023年遼寧卷18題）（本小題滿分12分）
已知正方形，分別是邊的中點，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．
（ⅰ）證明平面；
（ⅱ）若為正三角形，試判斷點在平面內的射影是否在直線上，證明你的結論，並求角的余弦值．
本小題主要考查空間中的線面關係，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．滿分12分．
（）證明：，分別是正方形的邊，的中點，
，且，四邊形是平行四邊形，．
平面，而平面，平面． 4分
（）解法一：點在平面內的射影在直線上．
過點作平面，
垂足為，鏈結，．
為正三角形，，，
在的垂直平分線上，
又是的垂直平分線，
點在平面內的射影在直線上． 8分
過作，垂足為，鏈結，則，
是二面角的平面角，即．
設原正方形的邊長為，鏈結．
在折後圖的中，，，
為直角三角形，
，．在中，，
，，． 12分
解法二：點在平面內的射影在直線上．鏈結，在平面內過點作，垂足為．為正三角形，為的中點，．
又，平面．平面，．
又，且，平面，平面，
平面，為在平面內的射影，
點在平面內的射影在直線上． 8分
過作，垂足為，鏈結，則，
是二面角的平面角，即．
設原正方形的邊長為．在折後圖的中，，，為直角三角形，，．
在中，，，
，． 12分
解法三：點在平面內的射影在直線上．
鏈結，在平面內過點作，垂足為．
為正三角形，為中點，．
又，平面．平面，
平面平面又平面平面，，
平面，即為在平面內的射影，
點在平面內的射影在直線上． 8分
過作，垂足為，鏈結，則，
是二面角的平面角，即．
設原正方形的邊長為．
在折後圖的中，，，
為直角三角形，，．
在中，，，
，． 12分
13. （2023年山東卷21題）（本小題滿分12分）
（18）（本小題滿分12分）
如圖所示，在三稜錐p-abq中，pb⊥平面abq，ba=bp=bq，d，c，e，f分別是aq，bq，ap，bp的中點，aq=2bd，pd與eq交於點g，pc與fq交於點h，連線gh。
（ⅰ）求證：ab//gh；（ⅱ）求二面角d-gh-e的余弦值.
解答：（1）因為c、d為中點，所以cd//ab同理：ef//ab，所以ef//cd，ef平面efq，所以cd//平面efq，又cd平面pcd,所以cd//gh，又ab//cd，所以ab//gh.
(2)由aq=2bd，d為aq的中點可得，△abq為直角三角形，以b為座標原點，以ba、bc、bp為x、y、z軸建立空間直角座標系，設ab=bp=bq=2，可得平面gcd的乙個法向量為，平面efg的乙個法向量為，可得,所以二面角d-gh-e的余弦值為
14.（2023年陝西卷18題）.(本小題滿分12分)
如圖, 四稜柱abcd－a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o為底面中心, a1o⊥平面abcd,.
(ⅰ) 證明: a1c⊥平面bb1d1d;
(ⅱ) 求平面ocb1與平面bb1d1d的夾角的大小.
【答案】(ⅰ) 見下
(ⅱ) 求平面ocb1與平面bb1d1d的夾角的大小.
【解析】
(ⅰ)；又因為，在正方形ab cd中，。
在正方形ab cd中,ao = 1 .
..(證畢)
(ⅱ) 建立直角座標系統,使用向量解題。
以o為原點，以oc為x軸正方向，以ob為y軸正方向。則
.由(ⅰ)知, 平面bb1d1d的乙個法向量
設平面ocb1的法向量為
。所以，平面ocb1與平面bb1d1d的夾角為
15.（2023年上海卷19題）
如圖已知四稜錐中的底面是邊長為6的正方形，側稜的長為8，且垂直於底面，點分別是的中點．求
（1）異面直線與所成角的大小（結果用反三角函式值表示）；
（2）四稜錐的表面積.
2分16.(2023年四川卷18題)（本小題滿分12分）
18、（本小題滿分12分）
如圖，在三稜柱中，側稜，，，分別是線段的中點，是線段的中點。
（i）在平面abc內，試做出過點與平面平行的直線，說明理由，並證明直線平面；
（ii）設（i）中的直線交ab於點m，叫ac於點n，求二面角的余弦值。
17. (2023年天津卷17題)(本小題滿分13分)
如圖, 四稜柱abcd－a1b1c1d1中, 側稜a1a⊥底面abcd, ab//dc, ab⊥ad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e為稜aa1的中點.
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