直線和平面所成的角與二面角（2）——二面角
一、課題：直線和平面所成角與二面角（2）——二面角
二、教學目標：1．掌握二面角、二面角平面角的概念並能正確判斷圖形中已知二面角的平面角；
2．掌握一些簡單圖形的二面角的平面角的作法．
三、教學重點、難點：二面角的概念和二面角的平面角的作法．
四、教學過程：
（一）複習：
1．空間兩直線所成角及其範圍；
2．直線與平面所成角的概念及其範圍．
（二）新課講解：
1．二面角的概念：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從
一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的稜，每個半
平面叫做二面角的面。若稜為，兩個面分別為的二面角記為；二面角的圖
形表示：
第一種是臥式法，也稱為平臥式：
第二種是立式法，也稱為直立式：
2．二面角的平面角：
立體幾何的基本轉化途徑為立幾問題平面化，對於二面角的研究我們怎樣衡量呢？——平
面角（1）過二面角的稜上的一點分別在兩個半平面內作稜的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（）．
（2）乙個平面垂直於二面角的稜，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角．
說明：（1）二面角的平面角範圍是；
（2）二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直．
3．例題分析：
例1．在正四面體中，求相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小．
解：取的中點，連線，
∵正四面體，∴於，
∴為二面角的平面角，
（法一）：設正四面體的稜長為1，則則
（法二）：（向量運算）令，，稜長為1，
∵，又∵，
∴即相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小為．
例2．在稜長為1的正方體中，
（1）求二面角的大小；
（2）求平面與底面所成二面角
的平面角大小。
解：（1）取中點，連線，∵正方體，∴，
∴即為二面角的平面角，
在中，，
可以求得即二面角
的大小為．
（2）過作於點，∵正方體，∴平面，
∴為平面與平面所成二面角的平面角，
可以求得：
所以，平面與底面所成二面角的平面角大小為
．說明：求二面角的步驟：作——證——算——答．
例3．已知：二面角且到平面的距離為，到的距離為，求二面角的大小．
解：作於點，平面於點，連線，
∵於點，於點，
∴，∴即為二面角的平面角，
易知，，
∴即二面角的大小為．
說明：利用三垂線定理作二面角的平面角是解決二面角問題中一種重要的方法，其特徵是其中乙個平面內一點作另乙個平面的垂線。則已經有三種作二面角的平面角的方法，即：定義法、垂面法、三垂線法．
五、小結：1．二面角的概念和二面角平面角的作法；
2．求二面角的解題步驟：作——證——算——答．
六、作業：課本第47頁習題9.7 第4、5題，
補充：已知四邊形為直角梯形，且有平面，，，
求：（1）二面角的大小；
（2）二面角的大小；
（3）二面角的大小．
直線和平面所成的角說課材料
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