立幾證明中常見邏輯錯誤與剖析
培養和發展學生的邏輯思維能力，這是立幾教學歷來強調的課題.實踐表明，不重視其本邏輯方法的介紹，而一味追求在解題過程中「潛移默化」，只能是事倍功半.怎樣將基本的邏輯方法有機地滲透於教學之中呢？
筆者認為，及時指出並糾正學生解題中存在的邏輯錯誤，讓學生充分認識致誤的根源，對發展和提高學生的邏輯推理能力十分有益.為此，本文以立幾證明為例，揭示幾種常見的邏輯錯誤，以期與大家共同研究**.
首選必須明確邏輯思維對證明的基本要求，即證明規則，共有五條：
（1）論題要明確；
（2）論題應當始終統一；
（3）論據要真實；
（4）論據不能靠論題來證明；
（5）論據必須能推出論題.
如果證題過程中未能遵守證明規則，就會產生這樣或那樣的邏輯錯誤.這些邏輯錯誤主要表現形式有以下幾種.
1 偷換論題
根據同一律，在證明過程中，論題應當是始終同一的，不能中途變更，即必須遵守規則（2）.違反了這條規則所犯的邏輯錯誤，稱為偷換論題，以偏概全、以特殊代替一般是偷換論題錯誤的主要表現形式圖1
例1 求證：與同一條直線相交的所有平行線都在同乙個平面內.
已知：a∩l=a， b∩l=b， c∩l=c，…，a∥b∥c…….
求證：a、b、c、……在同一平面內.
證明（略）
剖析此例可見於許多數學參考書中，僅看證明過程，往往覺得無懈可擊.其實問題出在「已知」「求證」的敘述方式上.
以「a∥b∥c…」來表示論題中的「所有平行直線」是不妥的.因為「a∥b∥c…」表示的平行直線構成的集合是可列集（即可以與自然數集n構成一一對映的集合）.而與同一直線相交的所有平行線構成的集合是不可列集.
也就是說前者是後者的真子集.因此，按上述「已知」「求證」所進行的證明，實際上僅證明了「所有平行線」中的一部分是共面的.犯了偷換論題的錯誤.
正確的做法宜將「已知」「求證」按如下方式敘述：
已知：a∩l=a， b是任意一條滿足b∥a且b∩l=b的直線.
求證：a、b、l共面.
例2.求證：兩條平行直線和同一平面所成的角相等.(《立幾》第34頁)
《教參》中對此題的「已知」「求證」作如下敘述：
已知：a∥b， a∩=a， b∩=b，分別是a、b與所成的角.
求證：剖析讀者不難發現，例2中所指的兩條平行線未必是平面的斜線.按「已知」「求證」的敘述，僅把它們當作的斜線來證，漏掉了其他兩種可能的情形.犯了偷換論題的錯誤.
2.虛假論據
論據是確立論題真實性的理由.如果論據是假的，那麼就不能確定論題的真實性.違反了這條規則（即規則（3））的邏輯錯誤叫虛假論據.
例3 如圖2，正方體abcd—a1b1c1d1中，p、q、r分別是上稜ab、aa1、ad上的點，求證：△pqr為銳角三角形.
錯證：由題意可知q平面ac，p、r∈平面ac.
又∵qa⊥平面ac，∴∠par是∠pqr在平面ac上的射影.
∴∠pqr<∠par=90°，
∴∠pqr為銳角.
同理可以證明∠qpr、∠prq皆為銳角，∴△pqr為銳角三角形.
剖析:上述證法的思路似乎十分簡潔.然而仔細推敲證題所用的主要論據：從平面外一點向平面引兩條線段所成的角，小於這兩條斜線段在平圖2
面上射影所成的角.可發現其不真.反例如下（圖3）：
已知△abc中，ab=2，bc=1，ac=，b、c在平面內，a在外，且a在上的射影為o，經計算容易得知，當二面角a－bc－o等於
60°時，∠bac=∠boc，當二面角a—bc—o大於60°且小於90°時，∠bac﹥∠boc.
所以上述證法犯了虛假論據的邏輯錯誤.正確的證法如下.
證明設ap=x， aq=y， ar=z.
則pq2=x2+y2，qr2=y2+z2， pr2=x2+y2圖3
從而有cosqpr=>0，
∴∠qpr為銳角，同理可證∠prq、∠rqp也是銳角.故△pqr是銳角三角形.
例4.已知：a、b是異面直線，b⊥，b⊥a， a.求證：a∥.
錯證：∵b⊥，設垂足為b.又∵a、b異面，∴b a.
設過b及a的平面為且∩= (如圖4)
∵b⊥，∴b⊥，又∵b⊥a，
∴a∥，又∵a，
∴a∥.
剖析：上述證明的論據之一是：「垂直地同一條直線的兩條直線平行」.易知，該命題當且僅當這三條直線共面時為真.因此，上述證明犯了虛假論據的邏輯錯誤.正確的證法如下：
證明 ∵b⊥，設垂足為b，在b上取異於b的一點a ，過a作∥a.設，b確定的平面為，且∩=m圖4
∵b⊥，∴b⊥m.
又∵、b、m都在平面內，
由b⊥m、b⊥可知∥m.
又∵a∥，∴a∥m.
∵a，m，a∥.
3.迴圈論證
證明命題a時，以命題b為前提，但命題b的真實性，卻又是直接或間接地以命題a為依據. 這種證明在邏輯上稱為迴圈論證.迴圈論證是一種錯誤的證明方法（違反了證明規則（4））.
例5.已知：a∥，p∈，p∈b， b∥a，求證：b.
錯證：在平面內過點p作直線∥a（如圖5），
∵p∈b且b∥a.
根據過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行可知，與b重合.故b.
剖析:要證過平面內的點p且與a平行的直線（其實這樣的直線有且僅有一條）在內，卻先在內過p作∥a，等於先肯定了結論，再論結論成立.犯了迴圈論證的錯誤.正確的證法如下：
圖5圖6
證明:（用反證法）假設b，過a及p可確定乙個平面.設=.
∵a∥，∴a∥.
又∵a∥b，∴b∥，這與b=p矛盾.
∴假設b不成立.∴ b.
例6.若直線l與平面內兩條相交直線l1，l2都垂直，則l⊥.
錯證：（用反證法）設l為的斜線（如圖6）且l在上的射影為.
∵l⊥l1，∴l1⊥(三垂線定理逆定理).同理可證l2⊥.
這說明在平面內過一點（l1、l2的交點）有兩條直線l1、l2都與垂直，矛盾.
因此，l⊥.
剖析:本例即線面垂直的判定定理，為證明它，教材上涉及了十一條直線，利用了三對全等三角形，而上述證法卻十分「簡潔」.稍加思索，便會發現上述證明是錯誤的.
因為按立體幾何的系統，三垂線定理及其逆定理的證明，是以線面垂直的判定定理為論據推出的.因此，上述證明犯了迴圈論證的錯誤.
以上這些立幾證明中常見的邏輯錯誤，大多數是因為學生缺乏基本的邏輯知識造成的.若教者能在教學中注意點撥與引導，許多問題都將得到很好的解決.需指出的是，培養和發展學生的邏輯思維能力要講究方法，把握好尺度.
否則將會起到適得其反的作用.
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