第2講平面的基本性質與異面直線
分層訓練a級基礎達標演練
(時間：30分鐘滿分：60分)
一、填空題(每小題5分，共30分)
1．給出下列四個命題：
①經過三點確定乙個平面；
②梯形可以確定乙個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
其中正確命題的序號為________．
解析 ①④錯誤，②③正確．
答案 ②③
2．(2011·四川理)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是________(填寫序號)．
①l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l2；②l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3；③l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共點l1，l2，l3共面．
解析 ①若l1與l3還可能相交或成異面直線，故①錯；②∵l2∥l3，∴l2、l3與l1成的角相等，又∵l1⊥l2，∴l1⊥l3，故②正確；由三稜柱和三稜錐可知③④錯誤．
答案 ②
3．平行六面體abcd－a1b1c1d1中，既與ab共面也與cc1共面的稜的條數為________．
解析如圖，用列舉法可知符合要求的稜為：bc、cd、c1d1、bb1、aa1，共5條．
答案 5
4．(2011·南通調研)若p是兩條異面直線l，m外的任意一點，則給出四個命題：
①過點p有且僅有一條直線與l，m都平行；
②過點p有且僅有一條直線與l，m都垂直；
③過點p有且僅有一條直線與l，m都相交；
④過點p有且僅有一條直線與l，m都異面；
上述命題中正確的是________(填序號)．
解析對於①，若過點p有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾．
對於②，過點p與l、m都垂直的直線，即過p且與l、m的公垂線段平行的那一條直線．
對於③，過點p與l、m都相交的直線有一條或零條．
對於④，過點p與l、m都異面的直線可能有無數條．
答案 ②
5.在正方體abcd －a1b1c1d1中，e，f分別是ab1，bc1的中點，則以下結論：①ef與cc1垂直；②ef與bd垂直；③ef與a1c1異面；④ef與ad1異面，其中不成立的序號是________．
解析鏈結a1b，在△a1bc1中，ef∥a1c1，所以①，②，④正確，③錯．
答案 ③
6．(2012·泰州調研一)設α、β、γ表示三個不同的平面，a、b、c表示三條不同的直線，結出下列五個命題：
①若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥β；
②若a∥α，b∥α，β∩α＝c，aβ，bβ，則a∥b；
③若a⊥b，a⊥c，bα，cαa⊥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α⊥β.其中正確命題的序號是________．
解析 ①中α、β可能相交；③中缺少條件：b與c相交；④中可有反例：α和β相交．綜上可知正確命題只有②.
答案 ②
二、解答題(每小題15分，共30分)
7.如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f分別是稜d1c1、b1c1的中點，求證：ef∥bd，且ef＝bd.
證明連線b1d1，
∴四邊形bb1d1d是平行四邊形，
∴bd繡b1d1.
在△c1d1b1中，∵e、f分別是d1c1與b1c1的中點，
∴ef繡b1d1，∴ef∥bd，且有ef＝bd.
8.如圖，在四面體abcd中作截面pqr，若pq、cb的延長線交於m，rq、db的延長線交於n，rp、dc的延長線交於k，求證：m、n、k三點共線．
證明 ∵m∈pq，直線pq面pqr，m∈bc，直線bc面bcd，
∴m是平面pqr與平面bcd的乙個公共點，
即m在面pqr與面bcd的交線l上．
同理可證：n、k也在l上．
∴m、n、k三點共線．
分層訓練b級創新能力提公升
1．在正方體abcd－a1b1c1d1中，p、q、r分別是ab、ad、b1c1的中點，那麼，正方體的過p、q、r的截面圖形是
解析如圖所示，作rg∥pq交c1d1於g，連線qp並延長與cb的延長線交於m，連線mr交bb1於e，連線pe、re為截面的部分圖形．
同理延長pq交cd的延長線於n，連線ng交dd1於f，連線qf，fg.
∴截面為六邊形pqfgre.
答案六邊形
2．在正方體abcd－a1b1c1d1中，o是bd1的中點，直線a1c交平面ab1d1於點m，給出下列四個結論：
①a1、m、o三點共線； ②m、o、a1、a四點共面；
③a、o、c、m四點共面； ④b、b1、o、m四點共面．
其中正確結論的序號是________．
解析因為o是bd1的中點．由正方體的性質知，o也是a1c的中點，所以點o在直線a1c上，又直線a1c交平面ab1d1於點m，則a1、m、o三點共線，又直線與直線外一點確定乙個平面，所以①②③正確．
答案 ①②③
3．如圖是正四面體的平面展開圖，g、h、m、n分別為de、be、ef、ec的中點，在這個正四面體中，
①gh與ef平行；
②bd與mn為異面直線；
③gh與mn成60°角；
④de與mn垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
解析還原成正四面體知gh與ef為異面直線，bd與mn為異面直線，gh與mn成60°角，de⊥mn.
答案 ②③④
4．(2012·廣雅中學)在稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，點e，f分別是稜bb1，dd1上的動點，且be＝d1f＝λ，設ef與ab所成的角為α，與bc所成的角為β，則α＋β的最小值________．
解析當ef∥bd時，α＝β＝45°，α＋β＝90°即為a＋β的最小值，故填90°.
答案 90°
5．如圖所示，正方體abcd－a1b1c1d1中，a1c與截面dbc1交於o點，ac，bd交於m點，求證：c1，o，m三點共線．
證明 ∵c1∈平面a1acc1，
且c1∈平面dbc1，
∴c1是平面a1acc1與平面dbc1的公共點．
又∵m∈ac，∴m∈平面a1acc1.
∵m∈bd，∴m∈平面dbc1，
∴m也是平面a1acc1與平面dbc1的公共點，
∴c1m是平面a1acc1與平面dbc1的交線．
∵o為a1c與截面dbc1的交點，
∴o∈平面a1acc1且o∈平面dbc1，
即o也是兩平面的公共點，
∴o∈直線c1m，即c1，o，m三點共線．
6．(2010·如東二模)如圖(1)，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝4，d是ab的中點，e是ac的中點，現將△abc沿cd翻摺成直二面角a－dc－b，如圖(2)．
(1)求異面直線ab與de所成的角；
(2)若m、n分別為稜ac、bc上的動點，求△dmn周長的平方的最小值．
解 (1)如圖，取bc的中點f，鏈結ef、df，則ab∥ef，ab與de所成的角即為ef與de所成的角．
∵ad＝bd＝2，∠adb＝90°，
∴ab＝4.∴ef＝2.
又∵de＝df＝2，
∴異面直線ab與de所成的角為60°.
(2)如圖是以c為頂點沿cd展開的側面展開圖，依題意即求dd1的長．
∵∠acd＝∠bcd1＝45°，ac＝bc＝ab，
∴∠acb＝60°.
∴∠dcd1＝150°，cd＝cd1＝2.∴dd＝(2)2＋(2)2－2×2×2·cos 150°＝16＋8.
高中數學知識點總結 第八章圓錐曲線方程
圓錐曲線方程 考試內容 數學探索版權所有橢圓及其標準方程 橢圓的簡單幾何性質 橢圓的引數方程 數學探索版權所有雙曲線及其標準方程 雙曲線的簡單幾何性質 數學探索版權所有拋物線及其標準方程 拋物線的簡單幾何性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握橢圓的定義 標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了...
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高中數學複習學 教 案 第51講 平面
題目第九章 b 直線 平面 簡單幾何體平面 高考要求 1理解並會應用平面的基本性質會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 2掌握證明關於 線共點 線共面 點共線 的方法 3會作幾何體的截面圖 知識點歸納 1 平面的概念 平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性 2 平面的畫法及其表...