圓錐曲線方程
考試內容：
數學探索版權所有橢圓及其標準方程．橢圓的簡單幾何性質．橢圓的引數方程．
數學探索版權所有雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有拋物線及其標準方程．拋物線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的引數方程．
數學探索版權所有掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有了解圓錐曲線的初步應用．
圓錐曲線方程知識要點
一、橢圓方程.
1. 橢圓方程的第一定義：
⑴①橢圓的標準方程：
i. 中心在原點，焦點在x軸上：. ii. 中心在原點，焦點在軸上
②一般方程：.③橢圓的標準引數方程：的引數方程為（一象限應是屬於）.
⑵①頂點：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點：或.④焦距：.⑤準線：或.⑥離心率：.⑦焦點半徑：
i. 設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：歸結起來為「左加右減」.
注意：橢圓引數方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.
⑧通徑：垂直於x軸且過焦點的弦叫做通經.座標：和
⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大於0的引數，的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
⑸若p是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用餘弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.
二、雙曲線方程.
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標準方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點： 焦點： 準線方程漸近線方程：或
ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：. 漸近線方程：或，引數方程：或 .
②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線距（兩準線的距離）；通徑.
⑤引數關係. ⑥焦點半徑公式：對於雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
「長加短減」原則：
構成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）
⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
⑹直線與雙曲線的位置關係：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有乙個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.
（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若p在雙曲線，則常用結論1：p到焦點的距離為m = n，則p到兩準線的距離比為m︰n.
簡證： = .
常用結論2：從雙曲線乙個焦點到另一條漸近線的距離等於b.
三、拋物線方程.
3. 設，拋物線的標準方程、型別及其幾何性質：
注：①頂點.
②則焦點半徑;則焦點半徑為.
③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.
④（或）的引數方程為（或）（為引數）.
四、圓錐曲線的統一定義..
4. 圓錐曲線的統一定義：平面內到定點f和定直線的距離之比為常數的點的軌跡.
當時，軌跡為橢圓；
當時，軌跡為拋物線；
當時，軌跡為雙曲線；
當時，軌跡為圓（，當時）.
5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關於原點對稱的.
因為具有對稱性，所以欲證ab=cd, 即證ad與bc的中點重合即可.
注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質
90題突破高中數學圓錐曲線
1.如圖，已知直線l：的右焦點f，且交橢圓c於a、b兩點，點a、b在直線上的射影依次為點d、e。
（1）若拋物線的焦點為橢圓c的上頂點，求橢圓c的方程；
（2）（理）連線ae、bd，試探索當m變化時，直線ae、bd是否相交於一定點n？若交於定點n，請求出n點的座標，並給予證明；否則說明理由。
（文）若為x軸上一點,求證:
1.解：（1）易知
（2） 先探索，當m=0時，直線l⊥ox軸，則abed為矩形，由對稱性知，ae與bd相交於fk中點n ,且
猜想：當m變化時，ae與bd相交於定點
證明：設，當m變化時首先ae過定點n
∴kan=ken ∴a、n、e三點共線同理可得b、n、d三點共線
∴ae與bd相交於定點
(文)解：（1）易知
（2）(文) 設
∴kan=ken ∴a、n、e三點共線
2.如圖所示，已知圓定點a（1，0），m為圓上一動點，點p在am上，點n在cm上，且滿足，點n的軌跡為曲線e。
（1）求曲線e的方程；
（2）若過定點f（0，2）的直線交曲線e於不同的兩點g、h（點g在點f、h之間），且滿足的取值範圍。
2.解：（1） ∴np為am的垂直平分線， ∴|na|=|nm|
又 ∴動點n的軌跡是以點c（－1，0），a（1，0）為焦點的橢圓
且橢圓長軸長為
∴曲線e的方程為
（2）當直線gh斜率存在時，設直線gh方程為
得由設又
整理得又又當直線gh斜率不存在，方程為
即所求的取值範圍是
3.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點m（2，1），平行於om的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)，l交橢圓於a、b兩個不同點。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值範圍；
（3）求證直線ma、mb與x軸始終圍成乙個等腰三角形。
解：（1）設橢圓方程為,則.
∴橢圓方程為
（2）∵直線l平行於om，且在y軸上的截距為m, 又kom=,
，聯立方程有
， ∵直線l與橢圓交於a．b兩個不同點，
（3）設直線ma，mb的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可
設，則由
而故直線ma，mb與x軸始終圍成乙個等腰三角形.
4.如圖，已知直線l：與拋物線c：交於a，b兩點，為座標原點，。
（ⅰ）求直線l和拋物線c的方程；
（ⅱ）拋物線上一動點p從a到b運動時，求△abp面積最大值．
解：（ⅰ）由得, 設則
因為=所以解得
所以直線的方程為拋物線c的方程為
（ⅱ）方法1：設依題意，拋物線過p的切線與平行時，△apb面積最大，
，所以所以
此時到直線的距離
由得，∴△abp的面積最大值為
（ⅱ）方法2：由得，
……9分
設， 因為為定值，當到直線的距離最大時，△abp的面積最大，
因為，所以當時， max=，此時
∴△abp的面積最大值為
高中數學知識點總結 第八章圓錐曲線方程
考試內容 數學探索版權所有橢圓及其標準方程 橢圓的簡單幾何性質 橢圓的引數方程 數學探索版權所有雙曲線及其標準方程 雙曲線的簡單幾何性質 數學探索版權所有拋物線及其標準方程 拋物線的簡單幾何性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握橢圓的定義 標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的引數方...
2019高考數學知識點綜合總結第八章圓錐曲線方程
考試內容 數學探索版權所有橢圓及其標準方程 橢圓的簡單幾何性質 橢圓的引數方程 數學探索版權所有雙曲線及其標準方程 雙曲線的簡單幾何性質 數學探索版權所有拋物線及其標準方程 拋物線的簡單幾何性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握橢圓的定義 標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的引數方...
第八章 知識點總結
柱狀固體壓強公式 p柱狀容器的液體壓強f p 5.大氣壓 概念 大氣對浸在它裡面的物體的壓強叫做大氣壓強，簡稱用p0表示。大氣壓的存在 實驗證明 大氣壓的實驗測定實驗。原理 結論 測量數值偏小，原因 測量數值偏大，原因 乙個標準大氣壓即 p76厘公尺水銀柱 乙個標準大氣壓能壓起m的水柱。6.大氣壓的...