文科綜合測試題
(時間：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、集合的運算
2、函式的表達方式
3、複數與充要條件
4、等差、等比數列的基本運算
5、向量的線性運算
6、正弦、余弦函式的影象（復合或影象變換）
7、運用函式性質比較大小
8、導數與線性規劃
1. 設集合u＝，集合m＝，n＝，則(um)∩n＝()
a．b．c．d．
答案：c
2. 是虛數單位，計算（ ）
（a）（b）（c）（d）
答案：b
3. 如果，那麼對任意不為零的實數x恆成立的是（ ）
a． b． c． d．
答案：a
4. 公差不為零的等差數列，若其中、、構成等比數列，則公比為（）
a．1 b．2 c． 3 d．4
答案：c
5. 已知梯形abcd，其中ab∥cd，且cd＝2ab，三個頂點a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，則點d的座標為( )
a．(6,0)b．(, )c．(, )d．(2,4)
答案：d
6. 已知x∈[0，π]，如果y = cos2x是減函式，且y = sin2x是減函式，那麼（）．
a． b． c． d．
答案：b
7. 定義在r上的函式f(x)滿足，x1時，f′(x)<0，且y＝f(x＋1)為偶函式，當
|x1－1|<|x2－1|時，則有
a．f(x1)>f(1)>f(x2)b．f(x2)>f(x1)>f(1)
c．f(1)>f(x1)>f(x2)d．f(1)>f(x2)>f(x1)
答案：c
8. 已知函式f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有兩個極值點x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，則f(－1)的取值範圍是()
a. b. c．[3,12] d.
答案：c
二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，將答案填在題中的橫線上．
9、復合函式定義域
10、曲線的切線方程
11、數列的基本概念，前n項和
12、數列與函式，累加法求通項公式
13、向量的數量積與成角
14、均值定理
15、三角函式求值（組合角）
16、命題邏輯綜合題
9. 函式的定義域為
答案：10. 如果，且，那麼sin等於
答案：11. 設函式，則函式在點處的切線的方程為
答案：12. 如果把數列的前n項和記作sn，且滿足，那麼________．
答案：13. 如果 |a|=1，|b|=2，c = a + b，且c⊥a，那麼向量a與b夾角的大小是
答案：120°
14. 設數列滿足，且，,那麼=_____
答案：15. 設，若是與的等比中項，則的最大值為_______
答案：16. 有下列命題：
①函式y＝的圖象關於點(1,1)對稱；
②關於x的方程ax2－2ax－1＝0有且僅有乙個實數根，則實數a＝－1；
③已知命題p：對任意的x∈r，都有sinx≤1，則綈p：存在x∈r，使得sinx>1;
④函式y＝cos(x－)cos(x＋)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
從以上四個命題中選兩個命題分別記作p和q，請你將能滿足條件「pq為真，pq為假」的p、q組合寫在橫線上，寫出三組即可。
解析：①正確；②正確；③正確；④不正確．
答案：④①、④②、④③
三、解答題：本大題共6小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知向量，，函式.
①求f(x)的最小正週期；
②求f(x)在區間上的最大值和最小值.
18. 已知為等差數列，且，
(1)求的通項公式；
(2)設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的通項公式及其前n項和tn.
19. 如圖，某貨輪在a處看燈塔b，燈塔b在貨輪
的北偏東的方向，距離為 (n mile)；在a處
看燈塔c，燈塔c在貨輪的北偏西的方向，距離
為 (n mile)．貨輪由a處向正北航行到d處，
再看燈塔b，燈塔b在南偏東，求：
（1）a處與d處之間的距離；
（2）燈塔c與d處之間的距離．
注：「n mile」為距離單位。
參***：（1）在△abd中，由已知得∠adb=，．
由正弦定理得ad =．
（2）在△adc中，由餘弦定理得
-．解得cd．
所以a處與d處之間的距離為24 n mile，燈塔c與d處之間的距離為n mile．
20. 已知函式，.
（ⅰ）當時，求函式在區間上的最大值與最小值；
（ⅱ）若在區間上是減函式，求的取值範圍.
21. 設函式，(∈r).
（1）求函式的遞增區間；
（2）求證：a= 時，對於任意的x1，x2∈都有|f(x1)－f(x2)|≤恆成立.
22. （1）下面圖形由單位正方形組成，記每個圖形中單位正方形的個數為．請觀察圖1至圖4的規律，並依此規律，求通項公式；
（2）下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在下圖四個三角形中，著色三角形的個數依次構成數列的前四項，依此著色方案繼續對三角形著色，求著色三角形的個數的通項公式；
（3）設，求數列的前n項和．
答案：（1）
（2）易知，後乙個圖形中的著色三角形個數是前乙個的3倍，
所以，著色三角形的個數的通項公式為：．
（3）由題意知，，
所以所以． ②
①－②得．
所以＝．即．
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