三角形四邊形有關的證明計算
一、證明題
典例精講
例1. 已知：如圖， af平分∠bac，bc⊥af， 垂足為e，點d與點a關於點e對稱，pb分別與線段cf， af相交於p，m．
（1）求證：ab=cd；
（2）若∠bac=2∠mpc，請你判斷∠f與∠mcd
的數量關係，並說明理由．
解：（1）證明：∵af平分∠bac，∴∠cad=∠dab=∠bac．
∵d與a關於e對稱，∴e為ad中點．
∵bc⊥ad，∴bc為ad的中垂線，∴ac=cd．
在rt△ace和rt△abe中，注：證全等也可得到ac=cd
∠cad+∠ace=∠dab+∠abe=90°， ∠cad=∠dab．
∴∠ace=∠abe，∴ac=ab． 注：證全等也可得到ac=ab
∴ab=cd．
（2）∵∠bac=2∠mpc， 又∵∠bac=2∠cad，∴∠mpc=∠cad．
∵ac=cd，∴∠cad=∠cdampc=∠cda．
∴∠mpf=∠cdm．
∵ac=ab，ae⊥bc，∴ce=be注：證全等也可得到ce=be
∴am為bc的中垂線，∴cm=bm． （6分注：證全等也可得到cm=bm
∵em⊥bc，∴em平分∠cmb，（等腰三角形三線合一）
∴∠cme=∠bme注：證全等也可得到∠cme=∠bme
∵∠bme=∠pmf，
∴∠pmf=∠cme，
∴∠mcd=∠f（三角形內角和）．
例2. 如圖，在等腰△abc中,點d、e分別是兩腰ac、bc上的點，連線ae、bd相交於點o，∠1=∠2．
（1）求證：od=oe
（2）求證：四邊形abｅd是等腰梯形
（3）若ab=3de, △dce的面積為2, 求四邊形abed的面積．
1）證明：如圖，∵△abc是等腰三角形，∴ac=bc ， ∴∠bad＝∠abe，
又∵ab=ba、∠2＝∠1， ∴△abd≌△bae（asa），
∴bd=ae，又∵∠１＝∠２，∴oa=ob，
∴bd-ob=ae-oa，即：od=oe．
(2)證明：由（1）知：od=oe，∴∠oed＝∠ode，
∴∠oed=-∠doe），
同理：∠1=-∠aob），
又∵∠doe＝∠aob，∴∠1＝∠oed，∴de∥ab，
∵ad、be是等腰三角形兩腰所在的線段，∴ad與be不平行，
∴四邊形abed是梯形， 又由（1）知∴△abd≌△bae，∴ad=be
∴梯形abed是等腰梯形．
（3）解：由（2）可知：de∥ab，∴△dce∽△acb，
∴，即：，
∴△acb的面積=18，
∴四邊形abed的面積=△acb的面積-△dce的面積=18-2=16 ．
針對性訓練
1.已知：如圖①，在中 ，，，分別是邊的中點，將繞點順時針旋轉角（），得到（如圖②）．
（1）**與的數量關係，並給予證明；
（2）當時，試求旋轉角的度數．
2. 如圖，中，ab=bc，於點e，於點d，，ad與be交於點f，連線cf.
（1）求證：bf=2ae；
（2）若，求ad的長.
3. 如圖，點a是線段bc上一點，△abd和△ace都是等邊三角形.
（1）鏈結be，cd，求證：be=cd；
（2）如圖，將△abd繞點a順時針旋轉得到△.
①當旋轉角為度時，邊邊落在邊ae上；
②在①的條件下，延長交ce於點p，連線，.當線段ab，ac滿足什麼數量關係時，△bdd′與△cpd′全等？並給予證明.
參***
1. 1）
證明：分別是的中點，．．
是順時針旋轉得到．．．
（2）．
．旋轉角．
2. （1）證明：∵，
∴，∴ad=bd.
∵，∴，，
∴.又∵，
∴，∴ac=bf.
∵ab=bc，，
∴ae=ec，即ac=2ae.
∴bf=2ae.
（2）解：∵，
∴df=cd=.
∴在中，cf==2.
∵，∴af=fc=2.
∴ad=af+df=2+.
3.（1）證明：∵△ace、△abd都是等邊三角形.
∴ab＝ad，ae＝ac，∠bad＝∠cae＝60°，
∴∠bad＋∠dae＝∠cae＋∠dae
∴∠bae＝∠dac，
∴△bae≌△dac ∴be＝cd.
（2）①60，
②當ac＝2ab時，△與△全等，證明如下：
由旋轉可知與ad重合，∴，
∴四邊形是菱形，
∴＝＝∠abd＝×60°＝30°， .
∵△ace是等邊三角形， ac＝ae，∠ace＝60°，
∵ac＝2ab，∴ae＝2ad′，
∴∠pcd′＝∠acd′＝∠ace＝30°，
∴，∴.
二、猜想、**題
典例精講
例1 如圖（1），中，，，垂足為，平分，交於點，交於點．
（1）求證：．
將圖（1）中的沿向右平移到的位置，使點落在邊上，其它條件不變，如圖（2）所示．試猜想：與有怎樣的數量關係？請證明你的結論．
（1）證明：∵平分，∴
∵∴又∵於，∴
∴∵，∴
∴（2）證明：如圖，過點作於．
又∵平分，∴
由平移的性質可知：，∴
∵，∴∵於，∴
∴在與中，
∴∴由（1）可知，∴
例2 如圖，△abc的邊bc在直線上，ac⊥bc，且ac=bc，△def的邊fe也在直線上，邊df與邊ac重合，且df=ef．
（1）在圖（1）中，請你通過觀察、思考，猜想並寫出ab與ae所滿足的數量關係和位置關係；（不要求證明）
（2）將△def沿直線向左平移到圖（2）的位置時，de交ac於點g，鏈結ae，bg．猜想△bcg與△ace能否通過旋轉重合？請證明你的猜想．
解：（1）ab=ae, ab⊥ae
（2）將△bcg繞點c順時針旋轉90°後能與△ace重合（或將△ace繞點c逆時針旋轉90°後能與△bcg重合），理由如下：
∵ac⊥bc，df⊥ef，b、f、c、e共線，∴∠acb=∠ace=∠dfe=90°
又∵ac=bc，df=ef，∴∠dfe=∠d=45°，
在△ceg中，∵∠ace=90°，∴∠cge=∠def=90°，
∴cg=ce，
在△bcg和△ace中
∵∴△bcg≌△ace（sas）
∴將△bcg繞點c順時針旋轉90°後能與△ace重合（或將△ace繞點c逆時針旋轉90°後能與△bcg重合）
例3如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，，的頂點與的斜邊的中點重合．將繞點旋轉，旋轉過程中，線段與線段相交於點，線段與射線相交於點．
（1）如圖①，當點**段上，且時，求證：；
（2）如圖②，當點**段的延長線上時，求證：；並求當 ，時，、兩點間的距離 （用含的代數式表示）．
證明：（1）點是等腰直角三角形斜邊的中點，
（1分）
，， （2分）
； （3分）
（2），，，
． （4分）
，； （5分）
， （6分）
，，即， （7分）
（8分）在中．
針對性訓練
1.（1）操作發現：如圖①，d是等邊△abc邊ba上一動點（點d與點b不重合），鏈結dc，以dc為邊在bc上方作等邊△dcf，鏈結af．你能發現線段af與bd之間的數量關係嗎？
並證明你發現的結論．
（2）模擬猜想：如圖②，當動點d運動至等邊△abc邊ba的延長線上時，其它作法與（1）相同． 猜想af與bd在（1）中的結論是否仍然成立？
（3）深入**：
ⅰ．如圖③，當動點d在等邊△abc邊ba上運動時（點d與點b不重合），鏈結dc，以dc為邊在其上方、下方分別作等邊△dcf和等邊△dcf′，鏈結af、bf′． **af、與ab有何數量關係？並證明你**的結論．
ⅱ．如圖④，當動點d在等邊△abc邊ba的延長線上運動時，其它作法與圖③相同，ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？並證明你得出的結論．
2. 在矩形abcd中，已知ad＞ab．在邊ad上取點e，使ae＝ab，鏈結ce．過點e作ef⊥ce，與邊ab或其延長線交於點f．
猜想：如圖①，當點f在邊ab上時，線段af與de的大小關係為
**：如圖②，當點f在邊ab的延長線上時，ef與邊bc交於點g．判斷線段af與de的大小關係．
應用：如圖②，若ab＝2，ad＝5，利用**得到的結論，求線段bg的長．
圖圖②3. 已知四邊形abcd是正方形，等腰直角△aef的直角頂點e在直線bc
上（不與點b，c重合），fm⊥ad，交射線ad於點m.
(1)當點e在邊bc上，點m在邊ad的延長線上時,如圖①，求證：ab+be=am；
(提示：延長mf，交邊bc的延長線於點h.)
(2)當點e在邊cb的延長線上，點m在邊ad上時，如圖②；當點e在邊bc的延長
線上，點m在邊ad上時，如圖③.請分別寫出線段ab，be，am之間的數量關係,
不需要證明；
(3)在(1)，(2)的條件下，若be=，∠afm =15°，則am
參***
1. 解（1）發現：． （1分）
證明：在等邊中，
在等邊中，
∴即，．. （2分）
(2)猜測：af=bd． （3分）
(3)**：ⅰ）． （5分）
證明：同理可證．
.ⅱ）． （6分）
證明：同理可證，．
又，，.
【解析】解：（1）猜想：af＝de；
（2）**：af＝de，理由如下：
∵四邊形abcd是矩形，
∴∠a＝∠d＝∠abc＝90°，ab＝cd，
∴∠afe＋∠aef＝90°，
∵ef⊥ce，
∴∠cef＝90°，
∴∠aef＋∠dec＝90°，
∴∠dec＝∠afe，
∵ae＝ab，
∴ae＝cd，
∴△afe≌△dec，
∴af＝de．
（3）由（2）得△afe≌△dec，
∴設de＝x，
∵ad＝5，
∴ae＝5－x＝2，
∵ab＝2，ab＝ae，
∴ae＝5－x＝2，
解得x＝3，
∴af＝de＝3，
∴fb＝1，
∵四邊形abcd為矩形，
∴ad//bc，
∴，即，
∴．3.證明略（2）如圖②:am=ab-be,如圖③:am=be-ab.(3)有兩種情況，如圖②:am=3- 如圖③:am=-1
【解析】解：（1）證明：∵∠aeb+∠hef =90°，∠aeb+∠bae =90°
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