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試題型別：a
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第ⅰ卷1至3頁，第ⅱ卷3至5頁.
2.答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在本試題相應的位置.
3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.
4.考試結束後，將本試題和答題卡一併交回.
第ⅰ卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）設集合，，則
（a）（b）（c）（d）
（2）設，其中x，y是實數，則
（a）1（b）（c）（d）2
（3）已知等差數列前9項的和為27，，則
（a）100（b）99（c）98（d）97
（4）某公司的班車在7:00，8:00，8:
30發車，學.科網小明在7:50至8:
30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是
（a）（b）（c）（d）
（5）已知方程–=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值範圍是
（a）(–1,3) （b）(–1, ) （c）(0,3) （d）(0, )
（6）如圖，某幾何體的三檢視是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是
（a）17π（b）18π（c）20π（d）28π
（7）函式y=2x2–e|x|在[–2,2]的影象大致為
（a）（b）
（c）（d）
（8）若，則
（a）（b）（c）（d）
（9）執行右面的程式圖，如果輸入的，則輸出x，y的值滿足
（a）（b）（c）（d）
(10)以拋物線c的頂點為圓心的圓交c於a、b兩點，交c的標準線於d、e兩點.已知|ab|=，|de|=，則c的焦點到準線的距離為
(a)2 (b)4 (c)6 (d)8
(11)平面a過正方體abcd-a1b1c1d1的頂點a，a//平面cb1d1，平面abcd=m，平面aba1b1=n，則m、n所成角的正弦值為
(a)(b) (c) (d)
12.已知函式為的零點，為影象的對稱軸，且在單調，則的最大值為
（a）11（b）9（c）7（d）5
第ii卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題為選考題，考生根據要求作答.
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分
(13)設向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=.
(14)的展開式中，x3的係數是.（用數字填寫答案）
（15）設等比數列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為。
（16）某高科技企業生產產品a和產品b需要甲、乙兩種新型材料。生產一件產品a需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品b需要甲材料0.
5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品a的利潤為2100元，生產一件產品b的利潤為900元。該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品a、產品b的利潤之和的最大值為元。
三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（17）（本題滿分為12分）
的內角a，b，c的對邊分別別為a，b，c，已知
（i）求c；
（ii）若的面積為，求的周長．
（18）（本題滿分為12分）
如圖，在已a，b，c，d，e，f為頂點的五面體中，面abef為正方形，af=2fd，，且二面角d-af-e與二面角c-be-f都是．
（i）證明平面abefefdc；
（ii）求二面角e-bc-a的余弦值．
（19）（本小題滿分12分）
某公司計畫購買2臺機器，該種機器使用三年後即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.
現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此蒐集並整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：
以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.
（i）求的分布列；
（ii）若要求，確定的最小值；
（iii）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個？
20. （本小題滿分12分）
設圓的圓心為a，直線l過點b（1,0）且與x軸不重合，l交圓a於c，d兩點，過b作ac的平行線交ad於點e.
（i）證明為定值，並寫出點e的軌跡方程；
（ii）設點e的軌跡為曲線c1，直線l交c1於m,n兩點，學科&網過b且與l垂直的直線與圓a交於p,q兩點，求四邊形mpnq面積的取值範圍.
（21）（本小題滿分12分）
已知函式有兩個零點.
(i)求a的取值範圍；
(ii)設x1，x2是的兩個零點，學科.網證明：+x2<2.
請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號
（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，△oab是等腰三角形，∠aob=120°.以⊙o為圓心，oa為半徑作圓.
(i)證明：直線ab與o相切；
(ii)點c,d在⊙o上，且a,b,c,d四點共圓，證明：ab∥cd.
（23）（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
在直線座標系xoy中，曲線c1的引數方程為（t為引數，a＞0）。在以座標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，曲線c2：ρ=4cosθ.
（i）說明c1是哪種曲線，學.科.網並將c1的方程化為極座標方程；
（ii）直線c3的極座標方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線c1與c2的公共點都在c3上，求a。
（24）（本小題滿分10分），選修4—5：不等式選講
已知函式f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（i）在答題卡第（24）題圖中畫出y= f(x)的影象；
（ii）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學參***
一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）d（2）b（3）c（4）b（5）a（6）a
（7）d（8）c（9）c（10）b（11）a（12）b
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分
(1314)10
（15）6416）
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（17）（本小題滿分為12分）
解：（i）由已知及正弦定理得，，
即．故．
可得，所以．
（ii）由已知，．
又，所以．
由已知及餘弦定理得，．
故，從而．
所以的周長為．
（18）（本小題滿分為12分）
解：（i）由已知可得，，所以平面．
又平面，故平面平面．
（ii）過作，垂足為，由（i）知平面．
以為座標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角座標系．
由（i）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．
由已知，，所以平面．
又平面平面，故，．
由，可得平面，所以為二面角的平面角，
．從而可得．
所以，，，．
設是平面的法向量，則
，即，所以可取．
設是平面的法向量，則，
同理可取．則．
故二面角的余弦值為．學科&網
（19）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）由柱狀圖並以頻率代替概率可得，一台機器在三年內需更換的易損零件數為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而；；
；；；；
.所以的分布列為
（ⅱ）由（ⅰ）知，，故的最小值為19.
（ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）.
當時，.學科&網
當時，.
可知當時所需費用的期望值小於時所需費用的期望值，故應選.
20.（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）因為，，故，
所以，故.
又圓的標準方程為，從而，所以.
由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：
（）.（ⅱ）當與軸不垂直時，設的方程為，，.
由得.則，.
所以.過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以
.故四邊形的面積
.學科&網
可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值範圍為.
當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.
綜上，四邊形面積的取值範圍為.
（21）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）．
（i）設，則，只有乙個零點．
（ii）設，則當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．
又，，取滿足且，則
，故存在兩個零點．
（iii）設，由得或．
若，則，故當時，，因此在上單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．學科&網
若，則，故當時，；當時，．因此在單調遞減，在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．
綜上，的取值範圍為．
（ⅱ）不妨設，由（ⅰ）知，，在上單調遞減，所以等價於，即．
由於，而，所以
．設，則．
所以當時，，而，故當時，．
從而，故．
請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號
（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
解：（ⅰ）設是的中點，鏈結，
因為，所以，．
在中，，即到直線的距離等於圓的半徑，所以直線與⊙相切．
（ⅱ）因為，所以不是四點所在圓的圓心，設是四點所在圓的圓心，作直線．
由已知得**段的垂直平分線上，又**段的垂直平分線上，所以．
同理可證，．所以．
（23）（本小題滿分10分）
解均為引數）
∴ ①
∴為以為圓心，為半徑的圓．方程為
∵∴ 即為的極座標方程
⑵ 學科&網
兩邊同乘得
即 ②
：化為普通方程為
由題意：和的公共方程所在直線即為
①—②得：，即為∴∴
（24）（本小題滿分10分）
解：⑴ 如圖所示：
⑵當，，解得或
當，，解得或
或當，，解得或
或綜上，或或
，解集為
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