《運籌學》前8周課程參考習題
一、考慮下列線性規劃模型
某企業生產甲、乙、丙三類特種鋼材，每噸甲，乙，丙鋼材需要加入金屬材料a，b，c，d的數量，原料限制及每噸甲，乙，丙鋼材的利潤如下表：
求使得總利潤最高的生產方案。使用《運籌學》教學軟體，得到結果如下：
a．請根據上面求解線性規劃問題輸出**說明：最優解，最優值，對偶**是什麼？他們的關係及含義是什麼？
b．解釋鬆弛 / 剩餘變數的含義。如果原料a、b、c、d可以用相同的**購買補充，你將優先考慮哪一種，為什麼？購買**在什麼範圍內，你可以接受？
c．當鋼材甲的利潤由12千元／噸變為10千元／噸的同時，產品乙的利潤由9千元／噸變為9.5千元／噸，這時原來的最優方案變不變？為什麼？
d．當其它金屬原料的**量不變時，金屬原料c的**量在什麼範圍內可以保證對偶**不變？試解釋其含義。
● 參考解答：
a．最優解：( 87.273，19.091,0 )t ；
最優值：1219.091；
對偶**：( 1.273，0,0,1.545 )t；
對偶**分量表示相應資源增加（或減少）1個單位，最優值增加（或減少）的數量。
b．解釋鬆弛 / 剩餘變數的含義：實際使用的資源與資源限額的差；
如果原料a、b、c、d可以用相同的**購買補充，將優先考慮d，因為d的影子**最高。d的購買**在1.54千元以下時可以接受。
c．根據百分之一百法則：
原來的最優方案不變。
d．當其它金屬原料的**量不變時，金屬原料c的**量大於等於201.818kg時，可以保證對偶**不變。其含義是：
在這個範圍內，原料c的增加或減少都不會應影響最優利潤，因為c在這個範圍內對偶**為0。
二、某企業生產三種儀器a、b、c，所需要的加工時間分別為10小時、8小時和13小時，每月的正常加工時間為 600 小時；生產成本分別為12萬元、15萬元和10萬元，每月可支付生產成本的資金為700萬元；各產品可獲得的利潤均為成本的10％。根據調查分析，市場對儀器a、b、c的需求分別為30臺、20臺和18臺。決策者考慮：
首先，要盡可能達到產品數量的需求；其次，要充分發揮企業的加工能力；第三，要求盡可能獲得較多的利潤；最後，要求加班時間最少。問應如何安排生產？(建模，不求解)
● 參考解答
設x1, x2, x3 分別為儀器a、b、c的產量
三、某企業生產甲、乙、丙三種產品，其每單位所消耗工時分別為1.6、2.0、2.
5小時，每單位所需原料a分別為24、20、12 kg，所需原料b分別為14、10、18 kg。生產線每月正常工作時間為 240 小時，原料a、b的總**量限制為 2400kg和1500kg 。生產乙個甲、乙、丙產品各可獲利潤525、678、812元，試分別建立以下兩種情況下的數學模型，不需要計算。
a．由於每單位丙產品的生產會產生 5kg 副產品丁，這些副產品丁一部分可以銷售，利潤為300元/kg，剩下的會造成汙染，每kg需要排汙費200元。副產品丁的需求量為每月不超過150kg。應如何確定生產計畫，可使總利潤最大？
b．工廠考慮到產品丙有汙染，決定不生產丙而準備在另外的三種產品w、q、g中選擇1種或2種來進行生產，它們所消耗工時、所需原料a、b及利潤如下表：
應如何確定生產計畫，可使總利潤最大？
● 參考解答：
a．設x1, x2, x3 分別為產品甲、乙、丙的產量，x4, x5 分別為副產品丁銷售和未銷售的數量
模型：b．設x1, x2, x3, x4, x5 分別為產品甲、乙、w 、q、g的產量，y1, y2, y3 為0-1變數，分別表示產品w、q、g生產（取值1）和不生產（取值0）
模型：四、某公司擬將在a、b、c三個區新設6個超市，每區至少設定乙個。根據市場調查，在不同地區設定不同數量的超市，每月的經營利潤如下表所示（單位：百萬元）：
問應如何安排這些超市的設定，可使公司總的經營利潤最大。試用動態規劃求解此問題。
● 參考解答：
注意： 三步
1、建模階段，狀態，決策，狀態轉移方程，階段指標函式，基本方程；
2、從終端條件開始，逆序求解動態方程(用**)，求得最優值；55百萬元
3、回溯，求得最優解（最優策略）。a-3、b-2、c-1，或a-3、b-1、c-2。
五、請確定 a、b、c 的排隊論模型及輸入資料，並寫出要求解問題的符號。
a．某公用**站有3臺**機，來打**的人按泊松分布到達，平均每小時 24 人，每次通話的時間服從負指數分布，平均為 3 分鐘。求：
（1） 到達時，不需等待即可打**的概率；
（2） 平均排隊人數；
（3） 為打**平均耗費的時間。
b．乙個機加工車間有30臺相同的機器，每台機器平均每2小時需加油一次，由於工作強度是隨機的，機器缺油時自動停機，停機數服從泊松分布。乙個修理工完成一台機器的加油平均需要10分鐘，加油時間服從負指數分布，現有3個加油工人。求：
（1） 系統裡平均等待和正在加油的機器數；
（2） 一台機器缺油而停機等待加油的平均時間；
（3） 有1個、2個加油工人空閒的概率。
c．乙個私人牙科診所只有1個醫生。已知每名患者的平均**時間為20分鐘。來看病患者的到達服從泊松分布，平均每小時2人。求：
（1） 患者到達需要排隊的概率；
（2） 系統中顧客的平均數和候診室裡的平均顧客數；
（3） 顧客等待就診的時間和顧客治牙平均需要的時間。
● 參考解答
a． b．
c．六、請確定 a、b、c、d 各題的存貯模型，確定各輸入資料，並用習慣記號表示出所需計算的量：
a．某公司生產一種電子裝置，該裝置所需的乙個部件由自己的分廠提供，分廠對這種部件的生產能力為6000件，分廠每次的生產準備費為250元。公司的這種電子裝置的年需求為 2000臺/年。裝配允許滯後，滯後的費用為每台為成本的40%。
該部件每件成本為 500 元，年存貯費為成本的 20%。求：公司生產關於這種部件費用最小的生產批量。
b．某單位每年需要一種備件 5000 個，這種備件可以從市場直接購買到。設該件的單價為 16 元/個，年存貯費為單價的 25%。乙個備件缺貨一年的缺貨費為單價的10%。
若每組織採購一次的費用為 120 元。試確定乙個使採購存貯費用之和為最小的採購批量。
c．一條生產線如果全部用於某種型號產品時，其年生產能力為600000臺。據**對該型號產品的年需求量為 250000 臺，並在全年內需求基本保持平衡，因此該生產線將用於多品種的輪番生產。已知在生產線上更換一種產品時，需準備結束費 1350 元。
該產品每台成本為 45 元，年存貯費用為產品成本的 24%，不允許發生**短缺。求使費用最小的該產品的生產批量。
d．某企業生產的產品中有一外購件，年需求量為 60000 件，單價為 35 元。該外購件可在市場立即採購得到，並設不允許缺貨。已知每組織一次採購需 720 元，每件每年的存貯費為該件單價的20%。
試求經濟定貨批量及每年最小的存貯加上採購的總費用。
● 參考解答
a．允許缺貨的批量生產模型
引數：單位存貯費 500*20% = 100元，單位缺貨費 500*40% = 200元，
生產準備費 250元，生產率 6000臺/年，需求率 2000臺/年
計算目標：最優生產批量，最大缺貨量，總費用。
b．允許缺貨的批量訂購模型
引數：單位存貯費 16*25% = 4元，單位缺貨費 16*10% = 1.6元，
採購費 120元/次，需求率 5000個/年
計算目標：最優訂購批量，最大缺貨量，總費用。
c．不允許缺貨的批量生產模型
引數：單位存貯費 45*24% = 10.8元，生產準備費 1350元，
生產率 600000臺/年，需求率 250000臺/年
計算目標：最優生產批量，總費用。
d．不允許缺貨的批量訂購模型
引數：單位存貯費 35*20% = 7元，每次採購費 720元，
需求率 60000件/年
計算目標：最優訂貨批量，總費用。
運籌學習題
二 某工廠接到a b兩種產品的訂單，a的需求量為1500，b的需求量為1800。工廠的1 2 3三條生產線均可加工這兩個產品，但加工成本和加工能力各不相同，具體資料見下表，列出使總加 一 單項選擇題 工成本最低的 0 1規劃 生產安排模型。提示 設第i i 1,2 種產品在第j j 1,2,3 條生...
運籌學習題四答案
4.1 工廠生產甲 乙兩種產品，由 二組人員來生產。組人員熟練工人比較多，工作效率高，成本也高 組人員新手較多工作效率比較低，成本也較低。例如，a組只生產甲產品時每小時生產10件，成本是50元有關資料如表4.21所示。表4.21 二組人員每天正常工作時間都是8小時，每週5天。一周內每組最多可以加班1...
《管理運籌學》習題5解答
1.表1中的數字表示5個村莊之間線路的長度 裡 現要求沿線路架設有線廣播電視線網，不僅使得各村都能收看廣播電視節目，而且使廣播線總長度最短。請先建立圖論模型並採取適當方法求解。表1解 設vj j 1,2,3,4,5 表示村莊j，邊 vi,vj 表示村莊i和村莊j之間廣播電視可以鋪線，其對應的權數ci...