第二章習題解答
2-1．什麼是訊號？訊號處理的目的是什麼？
2-2．訊號分類的方法有哪些？
2-3．求正弦訊號的均方值。
解：也可先求概率密度函式：則：。
2-4．求正弦訊號的概率密度函式p(x)。
解：代入概率密度函式公式得：
2-5．求如下圖所示週期性方波的復指數形式的幅值譜和相位譜
解在x(t)的乙個週期中可表示為
該訊號基本週期為t，基頻0=2/t，對訊號進行傅利葉復指數展開。由於x(t)關於t=0對稱，我們可以方便地選取-t/2≤t≤t/2作為計算區間。計算各傅利葉序列係數cn
當n=0時，常值分量c0：
當n0時，
最後可得
注意上式中的括號中的項即sin (n0 t1)的尤拉公式展開，因此，傅利葉序列係數cn可表示為
其幅值譜為：，相位譜為：。頻譜圖如下：
2-6．設cn為週期訊號x(t)的傅利葉級數序列係數，證明傅利葉級數的時移特性。
即：若有
則證明：若x(t)發生時移t0（週期t保持不變），即訊號x(t- t0)，則其對應的傅利葉係數為
令，代入上式可得
因此有同理可證
證畢！2-7．求週期性方波的（題圖2-5）的幅值譜密度
解：週期矩形脈衝訊號的傅利葉係數
則根據式，週期矩形脈衝訊號的傅利葉變換，有
此式表明，週期矩形脈衝訊號的傅利葉變換是乙個離散脈衝序列，集中於基頻以及所有諧頻處，其脈衝強度為被的函式所加權。與傅利葉級數展開得到的幅值譜之區別在於，各諧頻點不是有限值，而是無窮大的脈衝，這正表明了傅利葉變換所得到的是幅值譜密度。
2-8．求符號函式的頻譜。
解：符號函式為
可將符號函式看為下列指數函式當a0時的極限情況
解2-9．求單位階躍函式的頻譜：
解：單位階躍函式可分解為常數1與符號函式的疊加，即
所以：2-10．求指數衰減振盪訊號的頻譜。
解2-11．設x(f)為週期訊號x(t)的頻譜，證明傅利葉變換的頻移特性
即：若則證明：因為
又因為證畢！2-12．設x(f)為週期訊號x(t)的頻譜，證明傅利葉變換的共軛和共軛對稱特性
即：若則
式中x*(t)為x(t)的共軛。
證明由於
上式兩端用 -f 替代 f 得
上式右端即為x*(t)的傅利葉變換，證畢！
特別地，當x(t)為實訊號時，代入x*(t)= x(t)，可得x(f)共軛對稱，即
2-13．設x(f)為週期訊號x(t)的頻譜，證明傅利葉變換的互易性
即：若則
證明：由於
以 -t 替換 t 得
上式 t 與 f 互換即可得
即證畢。
特殊情況,當為偶函式時，
2-14．用傅利葉變換的互易特性求訊號g(t)的傅利葉變換g(f)，g(t)定義如下：
且已知解：當a=2，不難看出g(t)與x(f)非常相似。代入a=2，根據傅利葉變逆換有
等式兩端同時乘以2，並用-t替代變數t得
交換變數t和f得
上式正是g(t)的傅利葉變換式，所以
2-15．所示訊號的頻譜
式中x1(t), x2(t)是如圖2-31b），圖2-31c）所示矩形脈衝。
解：根據前面例2-15求得x1(t), x2(t)的頻譜分別為
和根據傅利葉變換的線性性質和時移性質可得：
圖2-31
2-16．求訊號x(t)的傅利葉變換
解：由例2-16已知
注意到x(t)為實偶函式， t >0 時，t<0 時，所以，根據線性疊加特性
又根據時間比例特性有，所以
最後得在實際應用中，一般為的實數
則2-17．已知訊號x(t)試求訊號x(0.5t) ，x(2t)的傅利葉變換
解：由例可知x(t)的傅利葉變換為
根據傅利葉變換的比例特性可得
如圖2-32所示,由圖可看出，時間尺度展寬(a<1.0)將導致其頻譜頻帶變窄,且向低頻端移動,這種情況為我們提高裝置的頻率分析範圍創造了條件,但是以延長分析時間為代價的;反之,時間尺度壓縮(a>1.0)會導致其頻譜頻帶變寬,且向高頻端擴充套件,這種情況為我們提高訊號分析速度提供了可能。
題圖2-17 時間尺度展縮特性示意圖
2-18．求同週期的方波和正弦波的互相關函式
解：因方波和正弦波同週期，故可用乙個週期內的計算值表示整個時間歷程的計算值，又根據互相關函式定義，將方波前移τ秒後計算：
2-19．求訊號的自相關函式。
解：由定義
其中積分的被積函式的非零區間為的交集，即。因此，當時，上式為
當時，則有
綜合有2-20．下面的訊號是週期的嗎？若是，請指明其週期。
（1） （30）
（2） （12）
（3（48）
2-21．如圖所示，有個脈寬為的單位矩形脈衝等間隔（間隔為）地分布在原點兩側，設這個訊號為，求其ft。
解：由題意，
其中，其ft為。根據ft的時移特性，可以求得
下面分析一下所求的結果。
當時，由羅彼塔法則可以求得，因此，是單個矩形脈衝頻譜的n倍，這是n個矩形脈衝的譜相互疊加的結果；而當（m不是n的倍數）時，，這是n個譜相互抵消的結果。見圖（b）。
可以看出，如果n不斷增大，這些等間隔分布的矩形脈衝的頻譜能量逐漸向離散點處集中，而且幅度也越來越大。特別地，當時，時域訊號變成了週期矩形脈衝訊號，而頻域則變成了只在離散點處有值的離散譜，在這些點處的頻譜幅度變成了衝激訊號（因為能量趨於無窮大）。這也應驗了：
借助於衝激訊號，週期訊號也存在ft。
2-22．「時域相關性定理」可描述如下
試證明。
下面給出兩種證明方法。
證明1：
這裡利用式：，是ft的「反褶共軛」性質。
證明2：
根據相關運算與卷積運算之間的關係
利用ft的「反褶共軛」性質，可以直接得到結論。
在式中，令，則可得
自相關的傅利葉變換
式中說明，「函式相關的ft是其幅度譜的平方」，換句話說，「函式的自相關函式與其幅度譜的平方是一對傅利葉變換對」。
利用ft的奇偶虛實性，若是實偶函式，那麼也是實偶函式。這樣我們就得到了乙個特例結論，
即當是實偶函式時，相關性定理與卷積定理是一致的。
2-24．帕斯瓦爾定理
證明：第三章習題及題解
1 試說明二階裝置的阻尼比ζ多採用ζ＝（0.6~0.7）的原因
答： 二階系統的阻尼比ζ多採用ζ＝（0.6~0.
7）的原因，可以從兩個主要方面來分析，首先，根據系統不失真傳遞訊號的條件，系統應具有平直的幅頻特性和具有負斜率的線性的相頻特性，右圖所示為二階系統的幅頻特性和相頻特性曲線，嚴格說來，二階系統不滿足上述條件，但在一定的範圍內，近似有以上關係。在特性曲線中可以看出，當ω﹤0.3ωn時，ζ對幅頻特性影響較小，φ(ω)－ω曲線接近直線。
a(ω)在該範圍內的變化不超過10％，可作為不失真的波形輸出。在ω﹥(2.5～3.
0)ωn範圍內φ(ω)接近180，且差值甚小，如在實際測量或資料處理中用減去固定相位差的方法，則可以接近不失真地恢復被測輸入訊號波形。若輸入訊號的頻率範圍在上述兩者之間，由於系統的頻率特性受ζ的影響較大，因而需作具體分析。分析表明，當ζ＝0.
6～0.7時，在ω＝(0～0.58)ωn 的頻率範圍中，幅頻特性a(ω)的變化不超過5％，此時的相頻特性曲線也接近於直線，所產生的相位失真很小。
其次其他工作效能綜合考慮，單位階躍訊號輸入二階系統時，其穩態輸出的理論誤差為零。阻尼比將影響超調量和振盪週期。ζ≥1，其階躍輸出將不會產生振盪，但需要經過較長時間才能達到穩態輸出。
ζ越大，輸出接近穩態輸出的時間越長。ζ﹤1時，系統的輸出將產生振盪。ζ越小，超調量會越大，也會因振盪而使輸出達到穩態輸出的時間加長。
顯然，ζ存在乙個比較合理的取值，ζ一般取值為0.6～0.7。
另外，在斜坡輸入的情況下，ζ俞小，對斜坡輸入響應的穩態誤差2ζ/ωn 也俞小，但隨著ζ的減小，超調量增大，**時間加長，當ζ＝0.6～0.7時,有較好的響應特性。
綜上所述，從系統不失真傳遞訊號的條件和其他工作效能綜合考慮，只有ζ＝0.6～0.7時，才可以獲得最佳的綜合特性。
2 試述訊號的幅值譜與系統的幅頻特性之間的區別 （1）物件不同，前者物件是訊號；後者的物件是系統；（2）前者反映訊號的組成，後者反映系統對輸入訊號不同頻率成分的幅值的縮放能力（3）定義不同：處理方法各異：前者是對訊號付氏變換的模，後者是輸出的付氏變換與輸入的付氏變換之比的模
3 已知訊號x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通過傳遞函式為的測試系統，試確定輸出訊號的頻率成分並繪出輸出訊號的幅值譜。
解： 將輸入訊號的各次諧波統一寫成xisin(ωit+φxi)的形式
x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)
訊號x(t)由三個簡諧訊號疊加而成，其頻率、幅值、相位分別為
設輸出訊號為y(t)，根據頻率保持特性，y(t)的頻率成分應與x(t)的頻率成分相同，各頻率成分的幅值和相位可由輸入訊號的幅值和相位與測試系統頻率響應特性h(ω)確定，根據題設條件，可得系統的頻率響應函式
系統的幅頻特性
輸出訊號y(t)的頻率、幅值、初相位分別為
繪出y(t)的幅值譜如右圖。
機械工程測試技術複習
答 1基本單位 2輔助單位 3匯出單位。19何種訊號滿足什麼條件可站開車成什麼級數？答 滿足狄里赫利條件的週期函式 訊號 x t 都可以展開傅利葉級數。20描述各態歷經隨機訊號主要特徵引數有哪些？答 1 均值 方差和均方值。2 概率密度函式。3 自相關函式。4 功率譜密度函式。21測量裝置的動態特性...
2019 機械工程測試技術複習
1非週期訊號有哪幾種？答 準週期訊號和瞬變非週期訊號兩種。第27頁 2描述隨機訊號的時域特徵引數有哪些？答 均值 x，均方根 x 2,方差 x 2。3何為測試技術？答 測試技術是測量和試驗技術的統稱。第1頁 4如何表示量值?答 量值是用數值和計量單位的乘積來表示的。第4頁 5為了獲得測試訊號的頻譜，...
重慶大學機械工程學院2023年碩士研究生複試通知
2011 04 01 google提供的廣告 西門子生產管理 西門子致力於通過創新的生產管理系統和自動化技術,幫助企業提高生產效率.複試資格基本分數線 1 所有參加複試的同學，必須於3月22日在網上 複試通知書，http 2.2011年3月25日，所有參加複試的考生 含調劑生 必須報到。由學院研究生...