上海應用技術學院 2008—2009學年第二學期
《復變函式與積分變換》期（末）複習卷
課程**: b2220081 學分: 2 考試時間分鐘
課程序號
班級學號姓名
我已閱讀了有關的考試規定和紀律要求，願意在考試中遵守《考場規則》，如有違反將願接受相應的處理。
試卷共 5 頁，請先檢視試卷有無缺頁，然後答題。
一．填空題（每空2分，共36分）
1. 若，，則材=
2. 複數的指數形式是，幅角主值=。
3. 複數=， =（計算過程可見第三題）。
4. 設解析，則， ==。
5. 設c為自原點到的直線段，則積分=（用牛頓-萊布尼茲公式）。
6. 級數是條件收斂 （填發散、條件收斂或絕對收斂）。
7. =。（請分別用柯西積分公式或留數定理計算）
8. 設.，則是可去奇點（選：可去奇點、極點或本性奇點），= 0 。
9. 函式的奇點是（都是一級極點）
10. 是的本性奇點 （選：可去奇點、極點或本性奇點），= 1 。
11. 函式的冪級數展開式是。
12. 拉普拉斯變換的定義是。
13. 若, 則。
二．計算（前2題各4分，第3題6分）
（1）說明函式在一點連續、可導、解析的關係。
討論的連續、可導、解析性。
答：函式在一點連續、可導、解析的關係是：解析可導連續，反之不成立。
對，設，則，即。
由於都是連續函式，故在復平面上處處連續。
由於。顯然可微，但只在處滿足柯西-黎曼方程。因此只在處可導，但在復平面上處處不解析。
（2）分別求和的模、幅角、實部、虛部。
解： 所以模為，幅角4 + 2 k (主值為4 -)，實部、虛部。
所以模為，幅角+ 2 k (主值為)，實部、虛部。
（3） 驗證是調和函式，並求，使函式為解析函式。
解：，因此u是調和函式。
下面用偏積分法求v：由，得到；再由，得，，所以當時，為解析函式。
三. 求,
解： 。其中k = 0時可得相應主值。
四. 求在內的羅朗展開。
在內的羅朗展開。
將函式展成 z 的羅朗級數，並指出收斂範圍。
解：1. 對，因為在內有，故在內有
2. 對，在內時
3. 五．計算
1.，其中c是從0到的直線段。
解：由於z e z 是解析函式，用分部積分法可得
2.其中c是從0到的直線段
解：由於被積函式不解析，本題只能沿曲線來計算積分。
直線段的引數方程為 z =(2 + i)t ( t從0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到
3.設，求（6分）
解： 所以
進而得4.（6分）。求積分,為不通過的閉曲線.
解：當a不在c內時，由柯西-古薩基本定理，得
當a在c內時，由高階導數公式，得。
5. 解：的一級極點有z = 0.5+k，其中在c內。且由法則ⅲ可求得在各極點處的留數為。故由留數定理得
六. 求拉氏變換，，。
求下列函式的拉氏逆變換
1. 2..
解： 七. 設在區域d內解析，。用柯西-黎曼方程證明也在區域d內解析。
證明：，為常數 - i與解析函式f (z) 的乘積，故也在區域d內解析。
（注意：這裡不是用柯西-黎曼方程證明的，請大家自己寫出用柯西-黎曼方程證明的過程）
八. 敘述留數定理的內容。
敘述柯西積分定理（即柯西-古薩基本定理）內容.
敘述柯西積分公式及高階導數公式內容.
上海應用技術學院2010—2011學年第一學期
一．選擇題（每小題3分，共15分）
1. 方程表示
以上都不對
2. 設z =, 則
0以上都不對.
3. z = 0是的幾級極點
ａ. 123以上都不對.
4.，則res
ａ. 11/21/3以上都不對.
5. 沿正向單位圓周的積分
ａ. 20以上都不對.
二．填空題（每小題3分，共15分）
324. 函式的奇點是
5. ，當a時是解析函式。
6. ，則 l
三．計算（每題7分，共49分）
（1）求的模、幅角、實部、虛部。（2）
（3），其中c為從 – i 到0的曲線。
（4）（5）用留數定理計算
上海應用技術學院 2011—2012學年第二學期
一．選擇題（每小題3分，共15分）
1. z = 0是的什麼點b ）.
ａ. 極點可去奇點. ｃ. 本性奇點 ｄ. 非孤立奇點.
2.，則resa ）.
ａ. 11/21/30 .
3b ）.
ａ. 0sin icos i1 .
4. 沿正向單位圓周的積分c ）.
ａ. 2. ｂ. 102πi
5. 設m為正整數，z = a是的m級零點 , 則z = a是的幾級極點 （ d ）.
ａ. 12m - 1m.
二．填空題（每小題3分，共15分）78
9. 若，則z = 3
10. ，當a = 5時在復平面上處處可導。
11. ，則 l
三．計算（每題7分，共56分）
（1），試求在復平面上何處可導？何處解析？
（2）（3），其中c為從1 - i 到0的任意一條曲線。
（4）（5）用留數定理計算
（6）給定調和函式，求調和函式v，使得成為乙個解析函式。
（7）將復函式展成z的冪級數，並指出收斂域。
（8）設，求
四. 積分變換（每題4分，共8分）
1. 已知，求 l
2. 用拉普拉斯變換的微分性質證明
五. 證明題（6分）
若函式與在單連通區域d內處處解析，c是d內任意一條閉曲線。證明：若等式在閉曲線c上處處成立，那麼該等式在閉曲線c內也處處成立。
答案三．計算（每題7分，共49分）
（1），試求在復平面上何處可導？何處解析？
解：（2）
解：（3），其中c為從1 - i到0的任意一條曲線。
解：（4）
解：（5）用留數定理計算
解：（6）給定調和函式，求調和函式v，使復函式成為乙個解析函式。
解：（7）將復函式展成z的冪級數，並指出收斂域。
解：四. 積分變換（每題5分，共15分）
1. 已知，求 l
解：2. 已知，求 l-1
解5分）
3. 用拉普拉斯變換的微分性質證明
證明：設（2分）。
由微分公式：（2分），得
五. 證明題（6分）
若函式與在單連通區域d內處處解析，c是d內任意一條閉曲線。證明：若等式在閉曲線c上處處成立，那麼該等式在閉曲線c內也處處成立。
證明：在c內任取一點z0，由於與都在c內解析，有柯西積分公式（1分）得
（兩式共2分）
又因為在閉曲線c上處處成立，所以有，因此得到（1分）。再由z0在c內的任意性，便得知等式在閉曲
線c內也處處成立。
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