第一講觀察法
在解答數學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發現問題、解決問題的首要步驟。小學數學教材，特別重視培養觀察力，把培養觀察力作為開發與培養學生智力的第一步。
觀察法，是通過觀察題目中數字的變化規律及位置特點，條件與結論之間的關係，題目的結構特點及圖形的特徵，從而發現題目中的數量關係，把題目解答出來的一種解題方法。
觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規律。
*例1（適於一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數學
第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養他們的觀察能力。
這時兒童已經學過20以內的加減法，基於他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內的小方格中填入數字後，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數字的和，都等於左邊小正方形中的數字18。實質上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。
解：現在通過觀察、思考，看小方格中應填入什麼數字。從橫中行10+6+□=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。
從豎右列7+2+□=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。
從正方形對角線上的9+6+□=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。
從正方形對角線上的7+6+□=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。
從橫上行3+□+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。
又從橫下行5+□+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。
圖1-5是填完數字後的幻方。
例2 看每一行的前三個數，想一想接下去應該填什麼數。（適於二年級程度）
6、16、26
9、18、27
80、73、66
解：觀察6、16、26這三個數可發現，6、16、26的排列規律是：16比6大10，26比16大10，即後面的每乙個數都比它前面的那個數大10。
觀察9、18、27這三個數可發現，9、18、27的排列規律是：18比9大9，27比18大9，即後面的每乙個數都比它前面的那個數大9。
觀察80、73、66這三個數可發現，80、73、66的排列規律是：73比80小7，66比73小7，即後面的每乙個數都比它前面的那個數小7。
這樣可得到本題的答案是：
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。
例3 將1～9這九個數字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適於三年級程度）
解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規律可發現：只有中心的那個方框中的數小於周圍的四個數，看來在中心的方框中應填入最小的數1。
再看它周圍的方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數大於相鄰的兩個方框中的數，其它方框中的數都是乙個比乙個大，而且方框中的數是按順時針方向排列越來越小。
所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以後依次填5、6、7、8。
圖1-7是填完數字的圖形。
例4 從乙個長方形上剪去乙個角後，它還剩下幾個角？（適於三年級程度）
解：此題不少學生不加思考就回答：「乙個長方形有四個角，剪去乙個角剩下三個角。」
我們認真觀察一下，從乙個長方形的紙上剪去乙個角，都怎麼剪？都是什麼情況？
（1）從乙個角的頂點向對角的頂點剪去乙個角，剩下三個角（圖1-8）。
（2）從乙個角的頂點向對邊上任意一點剪去乙個角，剩下四個角（圖1-9）。
（3）從乙個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去乙個角，
剩下五個角（圖1-10）。
例5 甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著乙個三位數。這個三位數的每個數字都相同，並且兩人中乙個人看到的這個數比另乙個人看到的這個數大一半，這個數是多少？（適於三年級程度）
解：首先要確定這個三位數一定是用阿拉伯數字表示的，不然就沒法考慮了。
甲看到的數與乙看到的數不同，這就是說，這個三位數正看、倒看都表示數。在阿拉伯數字中，只有0、1、6、8、9這五個數字正看、倒看都表示數。
這個三位數在正看、倒看時，表示的數值不同，顯然這個三位數不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
如果這個數是666，當其中乙個人看到的是666時，另乙個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數是666，也可以是999。
*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數的總和是多少？（適於三年級程度）
解：這道題可以有多種解法，把五個數直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數字大，計算起來容易出錯。
如果仔細觀察這五個數可發現，第乙個數是1966，第二個數比它大10，第三個數比它大20，第四個數比它大30，第五個數比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×（1+2+3+4）
=9830+100
=9930
這五個數還有另乙個特點：中間的數是1986，第乙個數1966比中間的數1986小20，最後乙個數2006比中間的數1986大20，1966和2006這兩個數的平均數是1986。1976和1996的平均數也是1986。
這樣，中間的數1986是這五個數的平均數。所以，這道題還可以用下面的方法計算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930
例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數嗎？（適於四年級程度）
解：我們仔細觀察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不難看出，原來的被除數和除數都乘以4，目的是將除數變成1後面帶有0的整百數。這樣做的根據是「被除數和除數都乘以乙個相同的數（零除外），商不變」。
進行這種變化的好處就是當除數變成了1後面帶有0的整百數以後，就可以很快求出商。按照這個規律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25 （2）900÷25
=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
（3）1400÷25 （4）1800÷25
=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）
=29000÷100
=290
*例8 把1～1000的數字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用乙個長方形框框出六個數，這六個數的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數，豎著兩個數）框出的六個數的和是837，這六個數都是多少？（適於五年級程度）
解：（1）觀察框內的六個數可知：第二個數比第乙個數大1，第三個數比第乙個數大2，第四個數比第乙個數大7，第五個數比第乙個數大8，第六個數比第乙個數大9。
假定不知道這幾個數，而知道上面觀察的結果，以及框內六個數的和是87，要求出這幾個數，就要先求出六個數中的第乙個數：
（87-1-2-7-8-9）÷6
＝60÷6
=10求出第乙個數是10，往下的各數也就不難求了。
因為用同樣的方法框出的六個數之和是837，這六個數之中後面的五個數也一定分別比第乙個數大1、2、7、8、9，所以，這六個數中的第乙個數是：
（837-1-2-7-8-9）÷6
＝810÷6
=135
第二個數是：135+1=136
第三個數是：135+2=137
第四個數是：135+7=142
第五個數是：135+8=143
第六個數是：135+9=144
答略。（2）觀察框內的六個數可知：①上、下兩數之差都是7；②方框中間堅行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個數的中間數。
11=（10+11+12）÷3
18=（17+18+19）÷3
所以上橫行與下橫行兩個中間數的和是：
87÷3＝29
由此可得，和是837的六個數中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數的和是：
837÷3＝279
因為上、下兩個數之差是7，所以假定上面的數是x，則下面的數是x+7。
x+（x+7）=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
=143
因為上一橫行中間的數是136，所以，第乙個數是：136-1=135
第三個數是：135+2=137
因為下一橫行中間的數是143，所以，
第四個數是：143-1=142
第六個數是：142+2=144
答略。*例9 有乙個長方體木塊，鋸去乙個頂點後還有幾個頂點？（適於五年級程度）
解：（1）鋸去乙個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去乙個頂點後，增加了三個頂點，所以，
8-1+3=10
即鋸去乙個頂點後還有10個頂點。
（2）如果鋸開的截面通過長方體的乙個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。
（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（個）（圖1-14）。
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