2023年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)
數學(文史類)
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試用時120分鐘.
第ⅰ卷（選擇題共60分）
參考公式：
如果事件a、b互斥，那麼柱體(稜柱、圓柱)的體積公式
p（a+b）=p（a）+p（b
如果事件a、b相互獨立，那麼其中s表示柱體的底面積，
p（a·b）=p（a）·p（b） 表示柱體的高
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的.
1．設集合那麼下列結論正確的是
a． b．包含q c． d．真包含於p
2． 不等式的解集為
a． b． c． d．
3．對任意實數在下列命題中，真命題是
a．是的必要條件b．是的必要條件
c．是的充分條件d．是的充分條件
4．若平面向量與向量的夾角是，且，則
a． b． c． d．
5．設p是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點。若，則
a．或 b． 6 c． 7 d．9
6．若函式在區間上的最大值是最小值的3倍，則=（ ）
a． b． c． d．
7．若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內的部分有交
點，則的取值範圍是
a． b． c． d．
8．如圖，定點a和b都在平面內，定點c是內異於a和b的動點，
且那麼，動點c在平面內的軌跡是（ ）
a．一條線段，但要去掉兩個點 b．乙個圓，但要去掉兩個點
c．乙個橢圓，但要去掉兩個點 d．半圓，但要去掉兩個點
9． 函式的反函式是
a． b．
c． d．
10．函式)為增函式的區間是
a． b． c． d．
11．如圖，在長方體中，
，分別過bc、
的兩個平行截面將長方體分成
三部分，其體積分別記為，,
. 若，則截面的面積為
a． b． c． d．
12．定義在r上的函式既是偶函式又是週期函式.若的最小正週期是，且當時，，則的值為
a． b． c． d．
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.答案填在題中橫線上.
13．某工廠生產a、b、c三種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：5。現用分層抽樣方法抽出乙個容量為的樣本，樣本中a種型號產品有16件.那麼此樣本的容量.
14．已知向量若與垂直，則實數等於
15．如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點，那麼實數的取值範圍是
16．從中任取3個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中能被5整除的三位數共有個.(用數字作答)
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知(i)求的值；
(ii)求的值.
18．（本小題滿分12分）
從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(i) 求所選3人都是男生的概率；
(ii)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(iii)求所選3人中至少有1名女生的概率.
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四稜錐中，底面abcd是正方形，側稜底面abcd，，e是pc的中點.
(i)證明平面；
(ii)求eb與底面abcd所成的角的正切值.
20．（本小題滿分12分）
設是乙個公差為的等差數列，它的前10項和且成等比數列.
(i)證明；
(ii)求公差的值和數列的通項公式.
21．（本小題滿分12分）
已知函式是r上的奇函式，當時取得極值.
(i)求的單調區間和極大值；
(ii)證明對任意不等式恆成立.
22．（本小題滿分14分）
橢圓的中心是原點o，它的短軸長為，相應於焦點的準線與軸相交於點a，，過點a的直線與橢圓相交於p、q兩點.
(i) 求橢圓的方程及離心率；
(ii)若求直線pq的方程.
2023年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學試題（文史類）參考解答
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.
13．80 14． 15． 16．36
三、解答題
17．本小題考查兩角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基礎知識，考查運算能力.滿分12分.
解：(i)解：
由，有解得4分
(ii)解法一6分
12分 解法二：由(i)，，得
6分 於是8分
10分代入得
12分18．本小題考查等可能事件的概率計算及分析和解決實際問題的能力.滿分12分.
(i)解： 所選3人都是男生的概率為
(ii)解：所選3人中恰有1名女生的概率為
(iii)解：所選3人中至少有1名女生的概率為
19．本小題考查直線直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.
方法一：
(i)證明：鏈結ac，ac交bd於o.鏈結eo.
底面abcd是正方形，點o是ac的中點
在中，eo是中位線，.
而平面edb且平面edb，
所以，平面edb. ………………3分
(ii) 解：
作交dc於f.鏈結bf.設正方形
abcd的邊長為.
底面abcd，
為dc的中點.
底面abcd，bf為be在底面abcd內的射影，故為直線eb與底面abcd所成的角.
在中，在中，
所以eb與底面abcd所成的角的正切值為12分
方法二(略)
20．本小題考查等差數列及其通項公式，等差數列前項和公式以及等比中項等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力。滿分12分.
(i)證明：因成等比數列，故
而是等差數列，有於是
即化簡得(ii)解：由條件和得到
由(i)，代入上式得故
因此，數列的通項公式為……12分
21．本小題主要考查函式的單調性及奇偶性，考查運用導數研究函式單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.滿分12分.
(i) 解：由奇函式定義，應有.
即因此，由條件為的極值，必有故
解得因此，當時，，故在單調區間上是增函式.
當時，，故在單調區間上是減函式.
當時，，故在單調區間上是增函式.
所以，在處取得極大值，極大值為
(ii)解：由(i)知，是減函式，且
在上的最大值
在上的最小值
所以，對任意恒有
22．本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關係等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力. 滿分14分.
(i)解：由題意，可設橢圓的方程為
由已知得
解得所以橢圓的方程為，離心率4分
(ii)解： 由(i)可得
設直線pq的方程為由方程組
得依題意得
設則由直線pq的方程得於是
由①②③④得從而
所以直線pq的方程為
或14分
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