§8—1
1．求函式的定義域．
解：要使函式有意義，必須所以或
所求函式的的定義域為
2．確定函式的定義域並畫出定義域的圖形．
解：要使函式有意義，必須，
即 所求函式的的定義域為
§8—2
1．設函式，求一階偏導數．
解： ．
2．設函式，求及．
解： ．
§8—3
設函式，求．
解： 因為 所以．
§8—4
1．設函式，求，．
解：記．則，將中間變數依次編為號，則；．
2．設函式，其中，求和．
解：因為， 所以
．利用自變數的對稱性，得
．若，則
．3. 設函式，其中的導數存在， 驗證:．方法一：
證明：令，則．，，
所以 ．
方法二：利用全微分形式的不變性
在所給函式兩邊微分，得
．所以 ，
，因此 ．
§8—5
1．設函式是由方程，， 所確定的，求．
方法一：
解：設，則，，
應用隱函式的求導公式，得
．方法二：對題設方程兩邊取對數，得
．上式兩邊對求導，得 ，，
解得2．設可微，，證明由所確定的函式滿足方程．方法一：
證明：設，則．
由於 ，
應用隱函式的求導公式，得
從而，證畢.方法二：
證明：方程兩邊分別對,求導：
（注意）
對求導： ，
解得 ．
對求導： ，
解得 ．
從而滿足方程 ．
方法三：
證明：方程兩邊取微分，得
從而得因而滿足方程
§8—6
1．求曲線在點處的切線方程，並問該切線與軸的正向所成角度是多少？
方法一：
解：把曲線表為引數方程的形式
則曲線在點處的切向量為
於是所求的切線方程為：
即曲線在點處的切向量的單位向量為
故所以所求的切線與軸的正向所成的角度是
或用偏導數的幾何意義求切線與軸的正向所成的角度．根據偏導數的幾何意義，
表示曲線在點處的切線對軸的斜率，
而 ，
設該切線與軸正向所成的角為，則
，所以 ，
於是所求的切線與軸的正向所成的角度是
.或用公式求切線與軸的正向所成的角度．
由於軸上的單位向量為.
由兩向量夾角的余弦公式得：
.於是所求的切線與軸的正向所成的角度是
方法二：
解：設則
曲面在點的法向量為
曲面在點的法向量為
由於兩曲面的法向量與都與交線的切向量垂直，可取因此所求的直線方程為 ．
即2．求曲面在點處的切平面方程及法線方程．解：曲面的法向量為
所以在點處的切平面方程為
即法線方程為
§8—7
1． 求函式在點處的方向導數的最大值．並問該最大值與函式梯度的關係是什麼？
解：函式在點處的方向導數的最大值即為該點函式梯度的模．所以所求方向導數的最大值為
2．求函式在點處沿從點到點的方向的方向導數．解：按題意，這裡方向即
與其同向的單位向量為
又利用自變數的對稱性，得
故所求的方向導數為
§8—8
1． 求由方程所確定的函式的極值．
解：設則
應用隱函式的求導公式，得
令解之得即
將，代入原方程，可得
，整理得 ， 即解得
對，得對，得
從而得駐點和．，．
所以，在駐點， ，
函式有極小值為；
在駐點， ,
函式有極大值為．
1． 求函式在閉區域上的最大值和最小值．
解：先求函式在閉區域內的可能極值點：
令上面的方程組無解．
即函式在閉區域內沒有駐點，故無極值．
下求函式在閉區域的邊界上
的最大值和最小值：
作拉格朗日函式
令 得 得
把代入得
即把代入，得
解得或代入，
相應地得或
這就得到三個點
而所以函式在閉區域的邊界上的
最大值為最小值為．
因此函式在閉區域上的最大值為
最小值為
高數 三 第四章部分習題解答
習題4部分習題解答 1 證 1 在上連續 2 在內可導 3 在上滿足羅爾定理的條件 令得，則滿足條件的 2 證 1 在上連續 2 在內可導 在上滿足拉格朗日中值定理的條件 由，即，4 解 因為，在，上滿足羅爾定理的條件 因此在內至少存在一點使，是方程的乙個實根 在內至少存在一點使，是方程的乙個實根 ...
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