摘要《北京統計年鑑》是一部按年連續出版的大型統計資料，比較真實地記錄了
北京市一年來經濟社會發展變化情況。它反映了北京市不同年份的人口狀態變化、就業狀況、產業發展情況等，對於研究一些與北京相關的問題很有價值。利用人口**模型、人口增長模型、萊斯利模型，用遞推的方式**各年齡組的人數，進而對總人數及其年齡結構進行**。
一問題重述
《北京統計年鑑》是一部按年連續出版的大型統計資料，真實地記錄了
北京市一年來經濟社會發展變化情況，是國內外各界人士了解北京、認識北京的重要資料。2011 版《北京統計年鑑》與以往不同，新增了反映北京市六次人口普查和第二次全國r&d 資源清查結果的資料，還有社會各界較為關注的城鎮新
增就業人數、森林覆蓋率、水環境、大氣環境、廉租房、公租房、網際網路上網人數、3g 移動使用者數、體育及相關產業等資料。
從北京市六次人口普查資料來看，兒童人口所佔比例持續大幅度下降、老齡
化程序加速、受教育程度持續大幅度公升高、城鎮與鄉村人口比不斷提高、就業人
數穩步提高。而人口、就業和城鄉區域協調發展問題是城市化程序中至關重要的
問題。請根據2011 版《北京統計年鑑》已有資料，從北京市的實際情況和人口
增長的特點出發，建立北京人口增長的數學模型，對於北京市人口的老齡化、城
鎮化和就業狀況水平，從2010 年至2050 年每隔十年的發展趨勢做出**。
二模型假設
1、根據醫學和生理學知識，女性育齡期為15～49。
2、假設在一定時間內無人口遷入和遷出。
3、假設同一年齡段有相同生育率和死亡率。
4、假設在比較穩定的環境裡，生育模式可以視作不隨時間而改變。
5、假設只有城鄉人口的自然增長、遷移、型別轉化對城鎮化有影響。
三符號說明
1、:第t年滿i歲不滿i+1歲的人數
2、:第i個年齡組人口的年死亡率
3、:第i 個年齡組在t+5時生存下來並進入i+1年齡組的比例（第i年齡組的存活率）
4、b:第i年齡組中婦女的年生育率
5、:時刻t每個與年齡婦女單位時間生育數的平均值
6、:時刻t育齡婦女隨年齡改變的性態（生育模式）
7、:最長壽命
8、:人口總數
9、:平均年齡
10、:平均壽命
11、:老齡化指數
三人口**模型的分析與建立
1、資料處理
為了使原始資料能夠直接被模型引用，故摘錄《北京統計年鑑2011 年》中的資料，整理如下表3.1—1 所示：
表3.1—1 北京市常住人口分年齡組統計表
2、模型的建立
根據《北京統計年鑑2011》年中所提供的2023年北京市常住人口資料，按照每五歲劃分為乙個年齡組，即0～4 歲為第1 組、5～9 歲為第2 組、10～14歲為第3 組、……、85～89 歲為第18 組，90 歲及以上為第19 組。記為第5t年年齡組為第i組的總人口數，第5t年各年齡組的人口向量為：,（……）
如果知道了第t 階段的時候各年齡組別的人口數量、各年齡組別人口的生育及死亡狀況，就可以根據人口發展變化的規律推得第t+1階段的時候各年齡組別的人口數量。
我們可以得出：
年齡組的年死亡率=100﹪
100﹪
設在t+5年時年齡組年齡組1至年齡組18的人數正比於前一年齡組在時間t的人數，即對i=1,2,3,4……，18，有
………………各年齡組的人數隨時間變化情況
i年齡組人口的存活率為,第t+5年齡時i+1年齡組的人數即在前乙個年齡段人數的基礎上減去死亡的人數，則有；
由於考慮到第t+5年時的第一組的人數就是第t年時婦女的生育嬰兒總數，所以，
t+5年時第19年齡組的人數有兩部分：原來的t年時的19組的人數和t年時第18組的人數，
可以得到人口**模型：
以矩陣，人口增長模型為……
其中萊斯利模型）
此模型可以用遞推的方式**各年齡組的人數，進而對總人數及其年齡結構進行**。，……
3、模型的求解
根據人的生理特徵和醫學上婦女生育的統計資料，婦女的育齡區間一般取15 歲到49 歲。那麼，可以認為當年齡r <15歲時，以及r > 49歲時，有。
根據《北京統計年鑑2011》年中3-5 常住人口年齡構成(2023年)和3-9 常住人口自然變動(2023年) 的資料，可以求出2023年的嬰兒總數為1961.20.748﹪=14.
669776（萬人）。
通常在比較穩定的環境裡，可視為不隨時間的改變而改變，即，通常用分布來近似，即
， >,
並取，此時生育高峰年齡。最小生育年齡=15，最大生育年齡= 49，根據醫學資料查得女性的最佳生育年齡是２５歲到３０歲，則生育模式函式為：
作出的影象如圖所示：
圖3.3-1
15-19歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
20-24歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
25-29歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
30-34歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
35-39歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
40-44歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
45-49歲婦女生育嬰兒數=該階段出生嬰兒的總數；
表3.2-2
各年齡組生育率、存活率、死亡率結果
如下表3.3—3所示：
表3.3—2 2010～2050 年北京市人口**結果
圖3.3—2 2010～2050 年每隔5 年的**人口統計柱形圖
結合本模型**出2010～2050 年的人口資料，作出北京市人口數量變化趨勢曲線圖如下圖3.3—3 所
從上圖可看出，北京市人口在近15年內前期還是要不斷增長的，到達2023年前後人口數量達到頂峰，出現這一現象的原因是我國現在的人口中，青少年所佔的比例很大，在短期內進入婚育期的人數較多。因此，人口還必須經歷乙個增長過程。隨著計畫生育工作的成效漸漸顯現出來，2025 年北京市人口將會逐步開始下降，這時候人口老齡化將會趨於公升高，有必要對人口政策進行調整，減輕社會的負擔。
4、人口老齡化的**
人口總數；
平均年齡=；
平均壽命；
老齡化指數
ω(t )表示平均每個勞動人口要贍養老年人口的數量
圖3.4—2 2010～2050 年老年人口負擔指數發展趨勢圖
從圖3.4—2 中可以看出，老齡化指數急速上公升，說明了大部分勞動人口逐漸轉化為老年人口，而新生兒因為我國計畫生育的政策保持在乙個較低的標準，就導致了老齡化指數的持續上公升，因而在未來40年內，應逐步開始調整計畫生育的政策，在控制人口過快增長的同時，應考慮到減輕人口老齡化的程度。
5、模型的改進與推廣
本模型**的人口增長結果較為滿意，人口老齡化的**結果在短期內還是令人滿意的，但長期發展下去老年人口將超過總人口的一半，且還會持續上公升，顯然這是不太合理的。其原因是，在**的過程中，始終用2023年的生育率和死亡率來代替以後各年的生育率和死率，忽視了其它因素如政策的變更、遷入遷出等因素的影響，因此導致結果會產生一定的誤差。
四城鎮化**模型的建立與求解
1、資料的處理
為了使問題變得簡單，不考慮經濟對城鎮化的影響，只考慮城鄉人口的自然增長、遷移、型別轉化這些人口因子對城鎮化的影響，我們首先對資料進行預處理，把《北京人口統計年鑑》中有用的資料提取出來，如下表：
通過上面的資料計算得出，鄉村人口自然增長率=農業人口自然增加人數/總人數；
城鎮人口自然增長率=非農業人口自然增加人數/總人數；
城市人口淨遷入率=(遷往市內非農人數—遷往市外非農人數）/非農總人數；
鄉村人口淨遷入率=（遷往市內農業人數—遷往市外農業人數）/非農總人數；
北京市人口與計畫生育條例
第二十條機關 社會團體 企業事業組織的職工晚婚的，除享受國家規定的婚假外，增加獎勵假7天。晚育的女職工，除享受國家規定的產假外，增加獎勵假30天，獎勵假也可以由男方享受，休假期間不得降低其基本工資或者解除勞動合同 不休獎勵假的，按照女方乙個月基本工資的標準給予獎勵。個體工商戶的雇工晚婚 晚育的，由雇...
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