假設：1.資訊具有足夠的吸引力，所有人都感興趣，並傳播。
2.人們對資訊在一定時間內會失去興趣。
摘要：2023年春來歷不明的sars病毒突襲人間，給人們的生命財產帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病的數學模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是我國及全世界有關專家和**關注的課題。
不同型別的傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，我們不是從醫學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而是從一般的傳播機理分析建立各種模型，如簡單模型，si模型，sis模型，sir模型等。在這裡我採用sir（susceptibles，infectives，recovered）模型來研究如天花，流感，肝炎，麻疹等**後均有很強的免疫力的傳染病，它主要沿用由kermack與mckendrick在2023年採用動力學方法建立的模型。應用傳染病動力學模型來描述疾病發展變化的過程和傳播規律，**疾病發生的狀態，評估各種控制措施的效果，為預防控制疾病提供最優決策依據, 維護人類健康與社會經濟發展。
關鍵字：傳染病；動力學；sir模型。
一﹑模型假設
1. 在疾病傳播期內所考察的地區範圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。總人口數n(t)不變，人口始終保持乙個常數n。
人群分為以下三類：易感染者(susceptibles)，其數量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數佔總人數的比例；感染病者(infectives)，其數量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數佔總人數的比例；恢復者(recovered)，其數量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統。）佔總人數的比例。
2. 病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數）為常數λ，日**率（每天被**的病人佔總病人數的比例）為常數μ，顯然平均傳染期為1／μ，傳染期接觸數為σ=λ／μ。該模型的缺陷是結果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設有效接觸率傳染力是不變的。
二﹑模型構成
在以上三個基本假設條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：
在假設1中顯然有：
s(t) + i(t) + r(t) = 11）
對於病癒免疫的移出者的數量應為
2）不妨設初始時刻的易感染者，染病者，恢復者的比例分別為（＞0），（＞0），=0.
sir基礎模型用微分方程組表示如下：
3）s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數值計算來預估計s(t) ， i(t)的一般變化規律。
三﹑數值計算
在方程（3）中設λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用matlab軟體程式設計：
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
pause
plot(x(:,2),x(:,1))
輸出的簡明計算結果列入表1。i(t) , s(t)的圖形以下兩個圖形，i~s圖形稱為相軌線,初值i(0)=0.02,s(0)=0.
98相當於圖2中的p0點,隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運動.由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長至約t=7時達到最大值,然後減少,t→∞,i→0,s(t)則單調減少,t→∞,s→0.0398.
並分析i(t),s(t)的一般變化規律.
表1 i(t),s(t)的數值計算結果
四﹑相軌線分析
我們在數值計算和圖形觀察的基礎上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質。
i ~ s平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域（s，i）∈d為
d = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤14）
在方程（3）中消去並注意到σ的定義，可得
5）所以6）
利用積分特性容易求出方程(5)的解為7）
在定義域d內,(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.
下面根據(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t→∞時它們的極限值分別記作,和)。
1.不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即8）
其證明如下
首先,由(3) 而故存在; 由(2)而故存
在;再由(1)知存在。
其次,若則由(1),對於充分大的t 有, 這將導致，與存在相矛盾.從圖形上看,不論相軌線從p1或從p2點出發,它終將與s軸相交(t充分大).
2.最終未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到,是方程
9）在(0,1/σ)內的根.在圖形上是相軌線與s軸在(0,1/σ)內交點的橫座標.
3.若》1/σ,則開始有，i(t)先增加, 令=0，可得當s=1/σ時,i(t)達到最大值：
10）然後s<1/σ時，有，所以i(t)減小且趨於零,s(t)則單調減小至,如圖3中由p1(，)出發的軌線.
4.若1/σ,則恒有，i(t)單調減小至零,s(t)單調減小至,如圖3中由p2(s0,i0)出發的軌線.
可以看出,如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延,那麼1/σ是乙個閾值,當》1/σ(即σ>1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數σ,即提高閾值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可認為接近1)。
並且,即使》1/σ,從(19),(20)式可以看出, σ減小時,增加(通過作圖分析),降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在σ=λμ中,人們的衛生水平越高,日接觸率λ越小;醫療水平越高,日**率μ越大,於是σ越小,所以提高衛生水平和醫療水平有助於控制傳染病的蔓延.
從另一方面看,是傳染期內乙個病人傳染的健康者的平均數,稱為交換數,其含義是一病人被個健康者交換.所以當即時必有 .既然交換數不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。
五﹑群體免疫和預防
根據對sir模型的分析,當時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛生和醫療水平,使閾值1/σ變大以外,另乙個途徑是降低,這可以通過比如預防接種使群體免疫的辦法做到.
忽略病人比例的初始值有,於是傳染病不會蔓延的條件可以表為
11)這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。
這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據估計當時印度等國天花傳染病的接觸數 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據世界衛生組織報告，即使花費大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到2023年才在全世界**。
而有些傳染病的σ更高，**就更加困難。
六﹑模型驗證
上世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當於移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，即有了的實際資料，kermack等人用這組資料對sir模型作了驗證。
首先，由方程（2），（3）可以得到
，兩邊積分得
所以12)
再13)
當時，取（13）式右端taylor展開式的前3項得：
在初始值=0 下解高階常微分方程得
14)其中， 從而容易由（14）式得出：
15）然後取定引數 s0, σ等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際資料在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際資料吻合得相當不錯。
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